Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164378

Circunferências tangentes: o círculo que envolve três círculos iguais

Gabarito: letra A. O raio da quarta circunferência é $\dfrac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$ cm. A chave é perceber que os centros das três circunferências de raio 1 formam um triângulo equilátero de lado 2, e o centro da circunferência que tangencia as três coincide com o centro desse triângulo — a distância do centro ao vértice (circuncentro) é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ , e o raio procurado é essa distância mais o raio das circunferências originais.

Vamos entender o problema. Temos três circunferências de raio 1 cm que se tangenciam externamente duas a duas. Isso significa que a distância entre os centros de quaisquer duas delas é exatamente a soma dos raios, ou seja, $1 + 1 = 2$ cm. Se ligarmos os três centros, formamos um triângulo cujos lados medem todos 2 cm — um triângulo equilátero.

A quarta circunferência tangencia simultaneamente as três. Há duas possibilidades: ela pode ser uma circunferência interna (que fica no "vão" entre as três, tangenciando-as por dentro) ou uma circunferência externa (que envolve as três, tangenciando-as por fora). O enunciado não especifica, mas o gabarito aponta para a circunferência externa, aquela que envolve as três. O centro dessa circunferência externa coincide com o centro do triângulo equilátero formado pelos centros das três circunferências originais.

O centro de um triângulo equilátero (que é também o circuncentro, o incentro e o baricentro) está a uma distância de cada vértice igual a $\dfrac{2}{3}$ da altura do triângulo. A altura $h$ de um triângulo equilátero de lado $\ell$ é dada por $h = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$ . Com $\ell = 2$ , temos $h = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . A distância do centro a um vértice é então $\dfrac{2}{3} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ .

Essa distância é a distância do centro da circunferência externa até o centro de uma das circunferências de raio 1. Para que a circunferência externa tangencie uma das circunferências internas, a distância entre seus centros deve ser igual à soma dos raios. Seja $R$ o raio da circunferência externa. Então:

\dfrac{2\sqrt{3}}{3} = R + 1

Isolando $R$ :

R = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} - 1 = \dfrac{2\sqrt{3} - 3}{3}

Esse valor é negativo, o que não faz sentido. Isso indica que a circunferência externa não tangencia as três por fora com o centro no centro do triângulo — na verdade, ela as envolve, e o centro dela está no centro do triângulo, mas a distância do centro ao centro de uma circunferência interna é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ , e essa distância deve ser igual à diferença entre o raio da externa e o raio da interna (tangência interna):

\dfrac{2\sqrt{3}}{3} = R - 1

Isolando $R$ :

R = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} + 1 = \dfrac{2\sqrt{3} + 3}{3}

Que é exatamente a alternativa A.

Vamos conferir com um exemplo numérico. $\sqrt{3} \approx 1,732$ , então $R \approx \dfrac{3 + 2 \cdot 1,732}{3} = \dfrac{3 + 3,464}{3} = \dfrac{6,464}{3} \approx 2,155$ cm. Isso faz sentido: a circunferência externa tem raio maior que 1, envolvendo as três internas.

A pegadinha clássica desta questão é confundir a tangência externa com a interna. Quando a circunferência envolve as outras, a distância entre os centros é a diferença dos raios, não a soma. Muitos candidatos montam a equação com soma e chegam a um valor negativo, ou então erram o cálculo da distância do centro ao vértice do triângulo equilátero.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre tangência externa e interna. Quando uma circunferência envolve outras, a distância entre os centros é a diferença dos raios ( $d = R - r$ ), não a soma. Aqui, a distância do centro do triângulo ao centro de uma circunferência é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ , e o raio procurado é essa distância mais o raio das circunferências originais ( $R = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} + 1$ ).

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O raio da circunferência externa é $\dfrac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$ cm. Como demonstrado, a distância do centro do triângulo equilátero (formado pelos centros das três circunferências de raio 1) a um vértice é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ . Como a circunferência externa tangencia internamente cada uma das três, a distância entre os centros é a diferença dos raios: $\dfrac{2\sqrt{3}}{3} = R - 1$ , logo $R = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} + 1 = \dfrac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}$ seria o resultado se a distância do centro ao vértice fosse $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , o que não ocorre. Essa alternativa erra ao usar apenas $\sqrt{3}$ no numerador, em vez de $2\sqrt{3}$ . A distância correta do centro ao vértice de um triângulo equilátero de lado 2 é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ , não $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{3 + 2\sqrt{3}}{2}$ tem o numerador correto, mas o denominador errado. O denominador deveria ser 3, não 2. Isso acontece se o aluno calcular a distância do centro ao vértice como $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (metade da altura) em vez de $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ (dois terços da altura).

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$ combina dois erros: o numerador com apenas $\sqrt{3}$ e o denominador 2. É a alternativa que mais se distancia do resultado correto, acumulando os erros das alternativas B e C.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}$ é um valor muito pequeno (aproximadamente 0,91), menor que o raio das circunferências originais. Isso não faz sentido para uma circunferência que envolve três circunferências de raio 1. Essa alternativa provavelmente resulta de um erro na montagem da equação, como usar a soma dos raios em vez da diferença, ou errar o cálculo da distância do centro ao vértice.

Gabarito: letra A