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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg164381
Banca
FGV
Órgão
Pref Caraguatatuba
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Em um plano cartesiano, C é uma circunferência em que a corda AB, tal que A(8,17) e B(18,-7), é um de seus diâmetros. Os pontos em que C intersecta os eixos coordenados são vértices de um triângulo, cuja área vale
  1. A70.
  2. B66.
  3. C64.
  4. D60.
  5. E56.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 60.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a Área = 60 — alternativa D.

A ideia por trás

A equação de uma circunferência no plano cartesiano é (x - h)² + (y - k)² = r², onde (h,k) é o centro e r é o raio. O centro é o ponto médio de qualquer diâmetro, e o raio é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência. Os pontos de interseção com os eixos são obtidos fazendo y=0 (eixo x) e x=0 (eixo y) na equação.

A distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]. O ponto médio de um segmento com extremos (x1,y1) e (x2,y2) é ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). A área de um triângulo com base b e altura h é (b·h)/2. Quando a base está sobre o eixo x, a altura é a distância vertical do terceiro ponto até esse eixo.

Esta questão pede para encontrar a equação da circunferência a partir do diâmetro, achar as interseções com os eixos e calcular a área do triângulo formado. O passo crítico é perceber que a circunferência é tangente ao eixo y, resultando em apenas um ponto de interseção nesse eixo.

O que a questão dá

  • A(8,17) e B(18,-7) são extremos de um diâmetro

  • C é a circunferência com diâmetro AB

O que queremos: a área do triângulo formado pelos pontos em que C intersecta os eixos coordenados

Passo 1 — Achar o centro da circunferência

Como AB é um diâmetro, o centro é o ponto médio de A e B. Precisamos dele para escrever a equação da circunferência.

Por que esta fórmula: O ponto médio de um segmento é a média das coordenadas dos extremos.

C=(xA+xB2,yA+yB2)C = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

De onde vem cada valor: xAx_A = enunciado: 8 · xBx_B = enunciado: 18 · yAy_A = enunciado: 17 · yBy_B = enunciado: -7

C=(8+182,17+(−7)2)C = \left(\frac{8 + 18}{2}, \frac{17 + (-7)}{2}\right)
C=(13,5)C = \boxed{(13, 5)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 ou errar o sinal de -7.

Passo 2 — Calcular o raio ao quadrado

Com o centro, precisamos do raio para montar a equação da circunferência. Usamos a distância do centro a um dos pontos do diâmetro.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas. Como vamos elevar ao quadrado na equação, calculamos r² diretamente.

r2=(xA−xC)2+(yA−yC)2r^{2} = (x_A - x_C)^{2} + (y_A - y_C)^{2}

De onde vem cada valor: xAx_A = enunciado: 8 · xCx_C = passo 1: 13 · yAy_A = enunciado: 17 · yCy_C = passo 1: 5

r2=(8−13)2+(17−5)2=(−5)2+(12)2=25+144r^{2} = (8 - 13)^{2} + (17 - 5)^{2} = (-5)^{2} + (12)^{2} = 25 + 144
r2=169r^{2} = \boxed{169}
NÃO CAIA NESSA!

Usar as coordenadas de B em vez de A, ou errar os sinais nas subtrações.

Passo 3 — Escrever a equação da circunferência

Com centro e raio, montamos a equação reduzida, que é a ferramenta para achar as interseções com os eixos.

Por que esta fórmula: A equação reduzida é (x - h)² + (y - k)² = r², onde (h,k) é o centro.

(x−13)2+(y−5)2=169(x - 13)^{2} + (y - 5)^{2} = 169

De onde vem cada valor: 1313 = passo 1: coordenada x do centro · 55 = passo 1: coordenada y do centro · 169169 = passo 2: r²

(x−13)2+(y−5)2=169(x - 13)^{2} + (y - 5)^{2} = \boxed{169}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os sinais do centro na equação.

Passo 4 — Achar interseções com o eixo x

Os pontos onde a circunferência corta o eixo x têm y=0. Substituímos na equação para achar as coordenadas x.

Por que esta fórmula: Fazendo y=0 na equação da circunferência, obtemos uma equação do segundo grau em x.

(x−13)2+(0−5)2=169(x - 13)^{2} + (0 - 5)^{2} = 169

De onde vem cada valor: 1313 = passo 3 · 55 = passo 3 · 169169 = passo 3

(x−13)2+25=169⇒(x−13)2=144(x - 13)^{2} + 25 = 169 \Rightarrow (x - 13)^{2} = 144

x = 1 ou x = 25, pontos (1,0) e (25,0)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o ± ao tirar a raiz quadrada, achando só um ponto.

Passo 5 — Achar interseção com o eixo y

Os pontos onde a circunferência corta o eixo y têm x=0. Substituímos na equação.

Por que esta fórmula: Fazendo x=0 na equação da circunferência, obtemos uma equação em y.

(0−13)2+(y−5)2=169(0 - 13)^{2} + (y - 5)^{2} = 169

De onde vem cada valor: 1313 = passo 3 · 55 = passo 3 · 169169 = passo 3

169+(y−5)2=169⇒(y−5)2=0169 + (y - 5)^{2} = 169 \Rightarrow (y - 5)^{2} = 0
y=5 ,ponto(0,5)y = \boxed{5\ , \text{ponto} (0,5)}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que há dois pontos no eixo y; aqui a circunferência é tangente ao eixo y.

Passo 6 — Calcular a área do triângulo

Com os três pontos de interseção, formamos um triângulo. A base pode ser o segmento entre (1,0) e (25,0) sobre o eixo x, e a altura é a distância do ponto (0,5) até esse eixo.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é base vezes altura dividido por 2. A base é a diferença das coordenadas x, e a altura é a coordenada y do terceiro ponto.

Aˊrea=(x2−x1)×y32\text{Área} = \frac{(x_2 - x_1) \times y_3}{2}

De onde vem cada valor: x2x_2 = passo 4: 25 · x1x_1 = passo 4: 1 · y3y_3 = passo 5: 5

Aˊrea=(25−1)×52=24×52=60\text{Área} = \frac{(25 - 1) \times 5}{2} = \frac{24 \times 5}{2} = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância entre (0,5) e algum outro ponto como altura, ou esquecer de dividir por 2.

Resposta: Área = 60 — alternativa D

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