Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — FGV 2024

Funções trigonométricas: valor máximo

Gabarito: letra E. O valor máximo de $f(x) = 3 + 4\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{7}x + \frac{\pi}{11}\right)$ é $3 + 4 = 7$, que é maior que 6,4. Isso ocorre porque o seno, independentemente do argumento, tem imagem no intervalo $[-1, 1]$; logo, o maior valor que $4\cdot\operatorname{sen}(\cdot)$ pode assumir é $4$, e somando a constante $3$ obtemos o máximo absoluto da função.

A questão explora um conceito central das funções trigonométricas: a imagem (ou conjunto de valores possíveis) da função seno. Para qualquer ângulo real $\theta$, temos sempre $-1 \leq \operatorname{sen}\theta \leq 1$. Isso é uma propriedade fundamental, que decorre da definição de seno no círculo trigonométrico: o seno de um ângulo é a projeção vertical do ponto correspondente sobre o eixo das ordenadas, e essa projeção nunca ultrapassa o raio do círculo, que é 1.

Quando multiplicamos o seno por uma constante positiva $A$, a imagem se expande: $-A \leq A\cdot\operatorname{sen}\theta \leq A$. No caso, $A = 4$, então $-4 \leq 4\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{7}x + \frac{\pi}{11}\right) \leq 4$. Somando a constante $3$ (que apenas desloca o gráfico verticalmente), obtemos:

Portanto, o valor máximo de $f$ é $7$. A fase $\frac{\pi}{11}$ e a frequência $\frac{2\pi}{7}$ não alteram o valor máximo — elas apenas deslocam o gráfico horizontalmente e mudam o período, mas a amplitude (4) e o deslocamento vertical (3) são os únicos fatores que determinam os valores extremos.

Na prática, para encontrar o máximo de uma função do tipo $f(x) = a + b\cdot\operatorname{sen}(cx + d)$ com $b > 0$, basta calcular $a + b$. O argumento $cx + d$ pode assumir qualquer valor real, e em particular pode ser igual a $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (onde $k$ é inteiro), ponto em que o seno atinge seu valor máximo, 1. Assim, existe sempre um $x$ real que torna o seno igual a 1, e nesse ponto a função atinge o máximo.

A pegadinha desta questão é que muitos candidatos tentam analisar o argumento $\frac{2\pi}{7}x + \frac{\pi}{11}$ em detalhes, procurando o valor de $x$ que maximiza a função, quando na verdade o valor máximo não depende de $x$ — ele é uma propriedade global da função. O período da função é $\frac{2\pi}{2\pi/7} = 7$, e a fase $\frac{\pi}{11}$ apenas desloca o gráfico, mas o máximo permanece $7$.

Guarde o critério decisivo: o máximo de $a + b\cdot\operatorname{sen}(\cdot)$ é $a + |b|$ (e o mínimo é $a - |b|$). É exatamente esse raciocínio que separa as alternativas: todas as opções A a D apresentam intervalos que não contêm o valor 7, enquanto a letra E afirma corretamente que o máximo é maior que 6,4.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor máximo é menor que 4,2. Isso confundiria a amplitude (4) com o valor máximo da função. A amplitude é a distância entre o valor médio (3) e o máximo (7), mas o máximo em si é $3 + 4 = 7$, não 4. O valor 4,2 não corresponde a nenhum parâmetro relevante da função.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o valor máximo está entre 4,2 e 4,8. Novamente, subestima o máximo. Se o candidato calculasse apenas $4\cdot\operatorname{sen}(\cdot)$ e esquecesse de somar a constante 3, obteria 4 como máximo, mas a função tem o termo $+3$ que eleva o máximo para 7. O intervalo 4,2–4,8 não contém o valor correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o valor máximo está entre 4,8 e 5,6. Esse intervalo também não contém 7. Talvez o candidato tenha considerado o valor médio (3) somado a algo como $2\cdot\operatorname{sen}(\cdot)$, mas a amplitude correta é 4, não 2. O máximo é $3 + 4 = 7$, fora desse intervalo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o valor máximo está entre 5,6 e 6,4. Esse intervalo se aproxima, mas ainda não alcança o valor correto. O máximo é exatamente 7, que é maior que 6,4. A alternativa D poderia ser escolhida por um candidato que calculasse $3 + 4 = 7$ mas depois, por algum erro de arredondamento ou confusão com o período, achasse que o máximo é menor. No entanto, o valor exato é 7, que está acima do limite superior de 6,4.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o valor máximo é maior que 6,4. De fato, o máximo é $3 + 4 = 7$, que é maior que 6,4. A alternativa está correta porque o seno atinge o valor 1 para algum $x$ real (quando $\frac{2\pi}{7}x + \frac{\pi}{11} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$), e nesse ponto $f(x) = 3 + 4\cdot 1 = 7$.

Gabarito: letra E