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Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — FGV 2024

MatemáticaPolinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
Código
fg164386
Banca
FGV
Órgão
Pref Caraguatatuba
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Um polinômio P(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f, ao ser dividido por x^2 - 2x + 1 deixa resto 5.   A soma a + b + c + d + e + f vale
  1. A0.
  2. B1.
  3. C2.
  4. D4.
  5. E5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a a + b + c + d + e + f = 5 — alternativa E.

A ideia por trás

Quando dividimos um polinômio por outro, o resto é o que sobra depois que o quociente é multiplicado pelo divisor. Para um divisor do tipo (x - k), o Teorema do Resto diz que esse resto é exatamente o valor do polinômio em x = k, ou seja, P(k). Isso porque, na divisão, P(x) = (x - k)·Q(x) + R, e ao substituir x = k o termo com (x - k) zera, sobrando R = P(k).

A soma dos coeficientes de um polinômio é obtida substituindo x por 1: P(1) = a + b + c + d + e + f. Isso vale para qualquer polinômio, pois cada termo x^n vira 1^n = 1. O divisor x^2 - 2x + 1 é um quadrado perfeito: (x - 1)^2, que tem raiz dupla em x = 1. Quando o divisor tem raiz dupla, o resto da divisão pode ser um polinômio de grau menor que 2, mas se o resto for uma constante, ela é exatamente P(1).

A questão mistura dois fatos: o divisor é (x-1)^2, então o resto constante 5 é P(1), e a soma pedida é justamente P(1). Basta reconhecer o quadrado perfeito e aplicar a definição de soma de coeficientes.

O que a questão dá

  • P(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f

  • divisor: x^2 - 2x + 1

  • resto da divisão: 5

O que queremos: a soma a + b + c + d + e + f

Passo 1 — Fatorar o divisor como quadrado perfeito

O divisor x^2 - 2x + 1 não é um binômio simples, mas é um quadrado perfeito: (x - 1)^2. Reconhecer isso é o passo-chave, porque permite aplicar o Teorema do Resto com a raiz x = 1.

Por que esta fórmula: x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2, pois (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1.

x2−2x+1=(x−1)2x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}
(x−1)2\boxed{(\text{x} - 1)^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Não reconhecer o quadrado perfeito e tentar dividir o polinômio diretamente, o que é trabalhoso e desnecessário.

Passo 2 — Aplicar o Teorema do Resto na raiz dupla

Com o divisor fatorado, sabemos que x = 1 é raiz dupla. O Teorema do Resto diz que o resto da divisão por (x - 1) é P(1). Como o divisor é (x - 1)^2, o resto pode ser de grau 1, mas o enunciado diz que é uma constante 5. Isso só é possível se P(1) = 5, pois ao escrever P(x) = (x-1)^2·Q(x) + 5, substituindo x = 1, o termo com (x-1)^2 zera e sobra P(1) = 5.

Por que esta fórmula: P(x) = (x-1)^2·Q(x) + R, com R constante. Avaliando em x = 1: P(1) = 0·Q(1) + R = R. Como R = 5, temos P(1) = 5.

P(1)=5P(1) = 5

De onde vem cada valor: P(1)P(1) = enunciado: resto 5

P(1)=5P(1) = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Pensar que o resto de uma divisão por um polinômio de grau 2 é sempre um polinômio de grau 1, mas aqui o resto é constante, então P(1) é exatamente o resto.

Passo 3 — Relacionar a soma dos coeficientes com P(1)

A soma pedida é a + b + c + d + e + f. Substituindo x = 1 no polinômio, cada termo x^n vira 1, então P(1) é exatamente essa soma. Como já sabemos que P(1) = 5, a soma é 5.

Por que esta fórmula: P(1) = a·1^5 + b·1^4 + c·1^3 + d·1^2 + e·1 + f = a + b + c + d + e + f.

a+b+c+d+e+f=P(1)a + b + c + d + e + f = P(1)

De onde vem cada valor: P(1)P(1) = passo 2: 5

a+b+c+d+e+f=5=5a + b + c + d + e + f = 5 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a soma dos coeficientes com o termo independente f, que é P(0), não P(1).

Resposta: a + b + c + d + e + f = 5 — alternativa E

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