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Questão de Matemática — Números Complexos — FGV 2024

MatemáticaNúmeros Complexos
Código
fg164389
Banca
FGV
Órgão
Pref Caraguatatuba
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Considere uma circunferência de centro na origem do plano de Argand-Gauss. Um ponto A, no primeiro quadrante, pertencente à circunferência, representa um número complexo z que, ao ser elevado à quinta potência, dá como resultado −32.   O argumento do número complexo izˉ\bar{z} é
  1. A30º.
  2. B36º.
  3. C45º.
  4. D54º.
  5. E60º.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 54º.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 54° — alternativa D.

A ideia por trás

No plano de Argand-Gauss, cada número complexo z = a + bi é um ponto (a, b). O módulo ρ é a distância desse ponto à origem, e o argumento θ é o ângulo que o segmento forma com o eixo real positivo. A forma trigonométrica z = ρ(cos θ + i sen θ) resume essas duas informações e é a ferramenta certa para operações como potenciação.

A Primeira Fórmula de DeMoivre diz que, para elevar z a uma potência n, elevamos o módulo a n e multiplicamos o argumento por n: z^n = ρ^n(cos(nθ) + i sen(nθ)). Isso significa que a potência gira o vetor no plano: o ângulo final é n vezes o ângulo inicial. Além disso, o conjugado z̄ tem o mesmo módulo e argumento oposto (−θ), e multiplicar por i (que tem argumento 90°) soma 90° ao argumento.

A questão pede o argumento de i·z̄. Precisamos primeiro descobrir o argumento de z a partir da equação z^5 = -32, depois inverter o sinal para o conjugado e somar 90° pela multiplicação por i.

O que a questão dá

  • ponto A no primeiro quadrante

  • circunferência centrada na origem

  • z^5 = -32 (dado do problema)

O que queremos: o argumento do número complexo i·conjugado de z

Passo 1 — Escrever -32 na forma trigonométrica

Para usar DeMoivre, precisamos saber o módulo e o argumento do número que é o resultado da potência. -32 é um número real negativo: no plano complexo, ele fica sobre o eixo real, à esquerda da origem, a uma distância de 32 unidades. O ângulo que esse ponto forma com o eixo real positivo é 180°.

Por que esta fórmula: A forma trigonométrica de um número complexo é ρ(cos θ + i sen θ), onde ρ é o módulo e θ o argumento. Para -32, ρ = 32 e θ = 180°.

−32=32(cos⁡180°+i\sen180°)-32 = 32(\cos 180° + i\sen 180°)

De onde vem cada valor: 3232 = definição: módulo de -32 é a distância até a origem, que é 32 · 180°180° = definição: argumento de um número real negativo é 180°

−32=32(cos⁡180°+i\sen180°)-32 = \boxed{32(\cos 180° + i\sen 180°)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o argumento de -32 com 0° ou 360° — isso acontece quando se pensa apenas no valor absoluto, esquecendo o sinal negativo.

Passo 2 — Aplicar DeMoivre para achar módulo e argumento de z

A equação z^5 = -32 nos diz que, ao elevar z à quinta potência, obtemos o número que acabamos de escrever. DeMoivre relaciona a potência com o módulo e o argumento: o módulo de z^5 é ρ^5 e o argumento é 5θ. Igualando essas partes com as de -32, encontramos ρ e θ.

Por que esta fórmula: Pela Primeira Fórmula de DeMoivre, z^5 = ρ^5(cos(5θ) + i sen(5θ)). Como isso é igual a 32(cos 180° + i sen 180°), temos ρ^5 = 32 e 5θ = 180°.

ρ5=32e5θ=180°\rho^{5} = 32 \quad \text{e} \quad 5\theta = 180°

De onde vem cada valor: ρ5\rho^{5} = passo 1: módulo de z^5 é 32 · 5θ5\theta = passo 1: argumento de z^5 é 180° · 55 = constante: expoente da potência na equação z^5 = -32

ρ=325=2,θ=180°5=36°\rho = \sqrt[5]{32} = 2, \quad \theta = \frac{180°}{5} = 36°

ρ = 2 e θ = 36°

NÃO CAIA NESSA!

Dividir 180° por 6 em vez de 5, obtendo 30° — a potência é 5, não 6.

Passo 3 — Inverter o sinal do argumento para o conjugado

O conjugado z̄ é o espelho de z em relação ao eixo real: mesmo módulo, mas argumento com sinal trocado. Como z tem argumento 36°, z̄ tem argumento -36°.

Por que esta fórmula: Se z = ρ(cos θ + i sen θ), então z̄ = ρ(cos θ - i sen θ) = ρ(cos(-θ) + i sen(-θ)). Portanto, o argumento de z̄ é -θ.

arg⁡(zˉ)=−arg⁡(z)\arg(\bar{z}) = -\arg(z)

De onde vem cada valor: arg⁡(z)\arg(z) = passo 2: 36°

arg⁡(zˉ)=−36°=−36 ∘\arg(\bar{z}) = -36° = \boxed{-36\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de inverter o sinal e usar 36° como argumento do conjugado.

Passo 4 — Somar 90° pela multiplicação por i

Multiplicar um número complexo por i rotaciona seu vetor em 90° no sentido anti-horário. Como i tem argumento 90°, o argumento do produto é a soma dos argumentos: o de i (90°) mais o de z̄ (-36°).

Por que esta fórmula: Na forma trigonométrica, multiplicar dois números complexos soma seus argumentos: (ρ₁(cos θ₁ + i sen θ₁))·(ρ₂(cos θ₂ + i sen θ₂)) = ρ₁ρ₂(cos(θ₁+θ₂) + i sen(θ₁+θ₂)). Aqui, i = 1(cos 90° + i sen 90°).

arg⁡(izˉ)=90°+arg⁡(zˉ)\arg(i\bar{z}) = 90° + \arg(\bar{z})

De onde vem cada valor: 90°90° = definição: argumento de i é 90° · arg⁡(zˉ)\arg(\bar{z}) = passo 3: -36°

arg⁡(izˉ)=90°+(−36°)=54°=54 ∘\arg(i\bar{z}) = 90° + (-36°) = 54° = \boxed{54\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 90° em vez de somar, ou esquecer o sinal negativo do conjugado, chegando a 126° ou 36°.

Resposta: 54° — alternativa D

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