Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2024

Limites: cálculo de limites fundamentais

Gabarito: letra C — o limite pedido resulta em $2^{0,5}$, que é a raiz quadrada de 2, aproximadamente 1,414. A resolução envolve a aplicação direta das propriedades de limites e a identificação de um limite fundamental, sem indeterminação.

O conceito de limite é a base do Cálculo Diferencial e Integral. Formalmente, dizemos que o limite de uma função $f(x)$ quando $x$ tende a um valor $a$ é $L$ se, para valores de $x$ suficientemente próximos de $a$ (mas não iguais a $a$), os valores de $f(x)$ ficam arbitrariamente próximos de $L$. Em notação: $\lim_{x \to a} f(x) = L$. A ideia central é o comportamento da função nas proximidades do ponto, não o valor exato no ponto.

Para calcular limites, usamos propriedades operatórias que simplificam a análise. Por exemplo, o limite de uma soma é a soma dos limites, o limite de um produto é o produto dos limites, e o limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero). Além disso, existem os chamados "limites fundamentais", que são resultados clássicos usados como ferramentas para resolver limites mais complexos. O mais conhecido é $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Outro limite fundamental importante é $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$, que é a base dos logaritmos naturais.

Na prática, ao nos depararmos com uma questão de limite, o primeiro passo é tentar a substituição direta do valor para o qual $x$ tende. Se o resultado for um número real, o limite está resolvido. Se resultar em uma indeterminação (como $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$), precisamos usar técnicas algébricas (fatoração, racionalização) ou os limites fundamentais para simplificar a expressão e então calcular o limite.

A pegadinha desta questão está na forma como o resultado é apresentado nas alternativas. O valor $2^{0,5}$ é equivalente a $\sqrt{2}$, e a banca explora a confusão entre a representação exponencial e a representação radical, além de testar se o candidato reconhece o resultado correto sem se perder em aproximações.

Guarde este ponto: ao calcular limites, a substituição direta é sempre o primeiro passo. Se ela funcionar, o problema acabou. A complexidade surge apenas quando há indeterminação, e é aí que entram as técnicas de simplificação.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $\frac{1}{2^{0,5}}$, que é o inverso de $2^{0,5}$. Isso seria o resultado se o limite estivesse no denominador, mas não é o caso. O candidato pode ter confundido a operação de potenciação com a de divisão, ou pode ter calculado o limite de uma função recíproca. O valor correto é $2^{0,5}$, não seu inverso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B sugere que o limite é igual a 2. Isso seria o resultado se o expoente fosse 1, ou se houvesse uma simplificação diferente. O valor $2^{0,5}$ é aproximadamente 1,414, que é menor que 2. O candidato pode ter confundido a raiz quadrada com o próprio número, ou pode ter errado a operação de potenciação.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa C apresenta o valor $2^{0,5}$, que é exatamente o resultado do limite. A notação $2^{0,5}$ é a forma exponencial da raiz quadrada de 2. O cálculo do limite, seja por substituição direta ou por reconhecimento de um limite fundamental, resulta nesse valor. Esta é a resposta correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D sugere que o limite é 0,5. Isso seria o resultado se o expoente fosse -1, ou se houvesse uma confusão entre a base e o expoente. O valor $2^{0,5}$ é aproximadamente 1,414, que é maior que 0,5. O candidato pode ter confundido a raiz quadrada com a metade, ou pode ter errado a operação de potenciação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E sugere que o limite é zero. Isso seria o resultado se a expressão tendesse a zero, mas não é o caso. O valor $2^{0,5}$ é um número positivo e diferente de zero. O candidato pode ter confundido o comportamento da função no infinito com o comportamento em um ponto finito, ou pode ter aplicado incorretamente uma propriedade de limites.

Gabarito: letra C