Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2024

Integração por substituição

Gabarito: letra B. A integral $\int x^2(3 + 2x^3)^7\,dx$ é resolvida pela técnica de substituição de variável (ou mudança de variável), que é o inverso da regra da cadeia na derivação. Fazendo $u = 3 + 2x^3$, temos $du = 6x^2\,dx$, e a integral se transforma em $\frac{1}{6}\int u^7\,du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{1}{48}(3 + 2x^3)^8 + C$.

A integração por substituição é uma das técnicas mais fundamentais do cálculo integral. Ela é usada quando o integrando é um produto de uma função composta pela derivada de seu argumento (ou algo proporcional a ela). A ideia é "desfazer" a regra da cadeia: se $F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)$, então $\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = F(g(x)) + C$. Na prática, escolhemos uma parte do integrando para ser $u$, calculamos $du$, e reescrevemos a integral inteira em termos de $u$.

No caso da questão, o integrando é $x^2(3 + 2x^3)^7$. Observe que a derivada de $3 + 2x^3$ é $6x^2$. Temos o fator $x^2$ multiplicando a potência, que é exatamente a derivada do argumento, exceto pela constante 6. Isso é um forte indício de que a substituição $u = 3 + 2x^3$ vai funcionar.

Vamos ao passo a passo:

1. Escolha da substituição: $u = 3 + 2x^3$.

2. Cálculo do diferencial: $du = 6x^2\,dx$. Isolando $x^2\,dx$, temos $x^2\,dx = \frac{du}{6}$.

3. Reescrita da integral: substituímos $3 + 2x^3$ por $u$ e $x^2\,dx$ por $\frac{du}{6}$:

   $\int x^2(3 + 2x^3)^7\,dx = \int u^7 \cdot \frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int u^7\,du$

4. Integração em relação a $u$: usando a regra da potência $\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ (para $n \neq -1$):

   $\frac{1}{6} \cdot \frac{u^{8}}{8} + C = \frac{u^8}{48} + C$

5. Retorno à variável original: substituímos $u$ de volta por $3 + 2x^3$:

   $\frac{1}{48}(3 + 2x^3)^8 + C$

A constante $C$ é a constante de integração, que surge porque a derivada de qualquer constante é zero. Ela é sempre adicionada ao final de uma integral indefinida.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: o expoente da resposta e o coeficiente que multiplica a expressão. Muitos candidatos, ao integrarem $u^7$, esquecem de dividir pelo novo expoente (8) e também esquecem de dividir pelo fator 6 que veio do diferencial. Outros erram o expoente, colocando 9 em vez de 8, confundindo a integração com a derivação (onde o expoente diminuiria).

Guarde o critério decisivo: ao integrar uma potência, o expoente aumenta em 1 e dividimos pelo novo expoente. E, na substituição, não podemos esquecer do fator que surge do diferencial. É exatamente nesses dois detalhes que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O coeficiente $\frac{1}{54}$ está errado. Esse valor surgiria se o diferencial fosse $du = 4x^2\,dx$ (o que não é o caso, pois $du = 6x^2\,dx$). O cálculo correto é $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{48}$. O expoente 8 está correto, mas o coeficiente não.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. A substituição $u = 3 + 2x^3$ leva a $\frac{1}{48}(3 + 2x^3)^8 + C$, exatamente como calculado. O coeficiente $\frac{1}{48}$ vem do produto $\frac{1}{6}$ (do diferencial) e $\frac{1}{8}$ (da integração da potência).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O coeficiente $\frac{1}{8}$ está errado. Esse valor seria o resultado se não houvesse o fator $x^2$ no integrando (ou se a derivada de $u$ fosse 1). Aqui, o fator 6 do diferencial precisa ser considerado, resultando em $\frac{1}{48}$, não $\frac{1}{8}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O expoente 9 está errado. Ao integrar $u^7$, o expoente aumenta para 8, não 9. O expoente 9 seria o resultado de uma derivação (onde o expoente diminuiria para 6) ou de uma integração de $u^8$. O coeficiente $\frac{1}{48}$ está correto, mas o expoente não.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Tanto o expoente 9 quanto o coeficiente $\frac{1}{54}$ estão errados. O expoente deveria ser 8 (aumenta em 1 na integração) e o coeficiente deveria ser $\frac{1}{48}$ (considerando o fator 6 do diferencial). Esta alternativa combina dois erros comuns.

Gabarito: letra B