Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2024

Derivada de ordem n de f(x) = e^{-x} + x e^x

Gabarito: letra A. Para n par, a derivada de ordem n de $f(x) = e^{-x} + x e^x$ é $e^{-x} + (x + n)e^x$. Isso decorre de duas regras: a derivada de $e^{-x}$ alterna entre $e^{-x}$ e $-e^{-x}$ (e como n é par, o sinal é positivo), e a derivada de ordem n de $x e^x$ é $(x + n)e^x$, pois cada derivação de $x e^x$ soma 1 ao coeficiente de $e^x$ (regra do produto).

Vamos entender o mecanismo por trás da resposta. A função dada é uma soma de duas parcelas: $e^{-x}$ e $x e^x$. A derivada é linear, então a derivada de ordem n da soma é a soma das derivadas de ordem n de cada parcela. Precisamos, portanto, calcular separadamente a derivada de ordem n de cada uma.

Primeira parcela: $e^{-x}$

A derivada de $e^{-x}$ é $-e^{-x}$ (regra da cadeia: derivada de $-x$ é $-1$). Derivando novamente, obtemos $e^{-x}$ (pois a derivada de $-e^{-x}$ é $e^{-x}$). O padrão alterna a cada derivada:

• $f'(x) = -e^{-x}$

• $f''(x) = e^{-x}$

• $f'''(x) = -e^{-x}$

• $f''''(x) = e^{-x}$

Ou seja, para ordem par, a derivada é $e^{-x}$; para ordem ímpar, é $-e^{-x}$. Como o enunciado afirma que n é par, a derivada de ordem n de $e^{-x}$ é simplesmente $e^{-x}$.

Segunda parcela: $x e^x$

Aqui usamos a regra do produto: $(uv)' = u'v + uv'$. Com $u = x$ e $v = e^x$, temos $u' = 1$ e $v' = e^x$. Então:

• $(x e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x + 1)e^x$

Derivando novamente, aplicamos a regra do produto a $(x+1)e^x$:

• $(x e^x)'' = 1 \cdot e^x + (x+1)e^x = (x + 2)e^x$

Perceba o padrão: a cada derivação, o coeficiente de $e^x$ aumenta em 1. Assim, a derivada de ordem n de $x e^x$ é $(x + n)e^x$. Isso pode ser provado por indução: se a derivada de ordem k é $(x + k)e^x$, então a derivada de ordem k+1 é $1 \cdot e^x + (x + k)e^x = (x + k + 1)e^x$.

Somando as duas parcelas

Como n é par, a derivada de ordem n de $e^{-x}$ é $e^{-x}$, e a derivada de ordem n de $x e^x$ é $(x + n)e^x$. Portanto, a derivada de ordem n da função inteira é:

Essa é exatamente a alternativa A. A pegadinha da questão está em esquecer que n é par: se n fosse ímpar, a derivada de $e^{-x}$ seria $-e^{-x}$, e a resposta seria diferente. A banca explora essa distração para induzir o candidato a marcar uma alternativa com sinal trocado.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A reproduz exatamente o resultado que derivamos: $e^{-x} + (x + n)e^x$. A primeira parcela vem da derivada de ordem par de $e^{-x}$, que é $e^{-x}$; a segunda vem da derivada de ordem n de $x e^x$, que é $(x + n)e^x$. A soma das duas é a resposta correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B troca o coeficiente de $e^x$ por $(x + n^2)e^x$. Isso estaria correto se cada derivação somasse $n$ ao coeficiente, mas na verdade cada derivação soma apenas 1. O padrão é $(x + 1)e^x$, $(x + 2)e^x$, ..., $(x + n)e^x$ — nunca $(x + n^2)e^x$. O erro é confundir a soma de n unidades com a multiplicação por n.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta $(x + 2n)e^x$. Isso seria o resultado se cada derivação somasse 2 ao coeficiente, o que não ocorre. A regra do produto aplicada a $x e^x$ sempre soma 1 a cada derivação, não 2. O coeficiente correto é $(x + n)$, não $(x + 2n)$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D traz $(x^n + n)e^x$. Isso confunde a derivada de $x^n$ (que seria $n x^{n-1}$) com a derivada de $x e^x$. A função $x e^x$ não tem $x^n$ como fator; o $x$ permanece de grau 1, e o que muda é o coeficiente multiplicando $e^x$. Portanto, $(x^n + n)$ não faz sentido aqui.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E troca a primeira parcela por $e^{nx}$. Isso seria a derivada de $e^{nx}$ (que é $n e^{nx}$), mas a função original tem $e^{-x}$, não $e^{nx}$. A derivada de $e^{-x}$ é $-e^{-x}$ (ou $e^{-x}$ para ordem par), nunca $e^{nx}$. A alternativa mistura exponenciais de bases diferentes.

Gabarito: letra A