Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Vetores e matrizes: produto escalar, produto vetorial e multiplicação por matriz

Gabarito: letra E. A expressão que resulta no vetor $\begin{bmatrix} -128 \\ -96 \\ 0 \end{bmatrix}$ é $A(v \times u)u^T v$. Isso porque o produto vetorial $v \times u$ gera um vetor que, multiplicado pela matriz $A$ e escalonado pelo escalar $u^T v$ (produto escalar), produz exatamente o vetor pedido. A chave está em calcular corretamente o produto vetorial (que é anticomutativo: $v \times u = -(u \times v)$) e o produto escalar $u^T v$, que é um número real.

Vamos entender cada operação envolvida. O produto escalar (ou interno) entre dois vetores $u$ e $v$ é um número real obtido pela soma dos produtos das coordenadas correspondentes. Para $u = (2, 4, -2)$ e $v = (-1, -3, 1)$, temos:

O produto vetorial entre dois vetores tridimensionais $a$ e $b$ é um vetor perpendicular a ambos, calculado pelo determinante simbólico:

Uma propriedade crucial é a anticomutatividade: $a \times b = -(b \times a)$. Isso significa que inverter a ordem dos vetores troca o sinal de todas as componentes do resultado. Vamos calcular $u \times v$ e $v \times u$:

Portanto, $v \times u = -(-2, 0, -2) = (2, 0, 2)$.

Agora, a matriz $A$ é $3 \times 3$ e o vetor resultante do produto vetorial é um vetor coluna $3 \times 1$. A multiplicação $A \cdot (v \times u)$ é uma multiplicação matriz-vetor, que resulta em outro vetor coluna. Vamos calcular:

Finalmente, multiplicamos esse vetor pelo escalar $u^T v = -16$:

Esse é exatamente o vetor pedido. A pegadinha da questão está na ordem do produto vetorial: a alternativa E usa $v \times u$, enquanto muitas outras usam $u \times v$, que tem sinal trocado. Além disso, é preciso lembrar que $u^T v$ é um escalar, e não um vetor, e que a multiplicação por matriz deve ser feita na ordem correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $A v^T u A^T (v \times u)$ mistura operações de forma incorreta. Primeiro, $v^T u$ é o produto escalar $v \cdot u = -16$ (mesmo valor de $u^T v$, pois o produto escalar é comutativo). Mas a expressão tem $A v^T u A^T (v \times u)$, que não é uma multiplicação bem definida: $A$ é $3 \times 3$, $v^T u$ é um escalar, $A^T$ é $3 \times 3$, e $(v \times u)$ é um vetor coluna. A ordem das operações não segue a precedência padrão e, mesmo que interpretássemos como $A \cdot (v^T u) \cdot A^T \cdot (v \times u)$, teríamos $A \cdot A^T$ (matriz $3 \times 3$) multiplicado pelo vetor, mas o escalar $v^T u$ multiplicaria a matriz $A$ antes, o que não gera o vetor pedido. O erro está na estrutura da expressão, que não corresponde a uma sequência válida de multiplicações que leve ao resultado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $u^T v (u \times v)^T A$ começa com o escalar $u^T v = -16$, depois $(u \times v)^T$ é a transposta do vetor $u \times v = (-2, 0, -2)$, que é um vetor linha $1 \times 3$. Multiplicar um vetor linha por uma matriz $3 \times 3$ resulta em um vetor linha, não em um vetor coluna. Além disso, o sinal de $u \times v$ é oposto ao de $v \times u$, então mesmo que a dimensão estivesse correta, o resultado teria sinal trocado. O erro está em usar $u \times v$ em vez de $v \times u$ e em obter um vetor linha, não coluna.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $A u^T v A (u \times v)$ tem o mesmo problema de sinal: usa $u \times v$ em vez de $v \times u$. Além disso, a ordem das multiplicações está confusa: $A u^T v A (u \times v)$ não é uma sequência bem definida, pois $u^T v$ é um escalar e $A$ é uma matriz; a multiplicação $A \cdot (u^T v)$ seria $A$ escalada por $-16$, mas depois multiplicar por $A$ novamente e pelo vetor $u \times v$ não produz o vetor pedido. O erro principal é o sinal trocado do produto vetorial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $A u^T v (u \times v)$ usa $u \times v$ em vez de $v \times u$, o que inverte o sinal do vetor resultante. Se calcularmos $A \cdot (u \times v) = A \cdot (-2, 0, -2) = \begin{bmatrix} -8 \\ -6 \\ 0 \end{bmatrix}$ e multiplicarmos por $u^T v = -16$, obteríamos $\begin{bmatrix} 128 \\ 96 \\ 0 \end{bmatrix}$, que é o vetor com sinal oposto ao pedido. O erro está na ordem do produto vetorial.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, $A(v \times u)u^T v$ é a única expressão que resulta em $\begin{bmatrix} -128 \\ -96 \\ 0 \end{bmatrix}$. O passo a passo: $v \times u = (2, 0, 2)$, $A \cdot (v \times u) = (8, 6, 0)$, e $u^T v = -16$, então $-16 \cdot (8, 6, 0) = (-128, -96, 0)$. A ordem correta do produto vetorial e a multiplicação pelo escalar são os pontos decisivos.

Gabarito: letra E