Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Transformações lineares e matrizes associadas

Gabarito: letra B — apenas o item II está correto. A matriz $A$ do item I está errada (a segunda coluna deveria ser $(0, -\sqrt{2})^T$, não $(\sqrt{2}, 0)^T$), o que invalida o item III, pois $F$ não é a identidade. O item II apresenta a matriz inversa correta $B = A^{-1}$, obtida pela fórmula da inversa de uma matriz $2 \times 2$.

Uma transformação linear $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ fica completamente determinada pela imagem de uma base do domínio. Como $(2,1)$ e $(1,-1)$ formam uma base de $\mathbb{R}^2$ (são linearmente independentes), os valores dados $F(2,1)$ e $F(1,-1)$ definem $F$ de forma única. A matriz canônica $A$ de $F$ é construída colocando nas colunas as imagens dos vetores da base canônica $e_1 = (1,0)$ e $e_2 = (0,1)$.

Para encontrar $A$, precisamos expressar $e_1$ e $e_2$ como combinação linear de $(2,1)$ e $(1,-1)$. Resolvendo o sistema:

• $e_1 = (1,0) = \alpha(2,1) + \beta(1,-1)$ → $2\alpha + \beta = 1$ e $\alpha - \beta = 0$ → $\alpha = \beta = \frac{1}{3}$.

• $e_2 = (0,1) = \gamma(2,1) + \delta(1,-1)$ → $2\gamma + \delta = 0$ e $\gamma - \delta = 1$ → $\gamma = \frac{1}{3}$, $\delta = -\frac{2}{3}$.

Assim, $F(e_1) = \frac{1}{3}F(2,1) + \frac{1}{3}F(1,-1) = \frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{1}{3}(\sqrt{2}, 0) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$F(e_2) = \frac{1}{3}F(2,1) - \frac{2}{3}F(1,-1) = \frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{2}{3}(\sqrt{2}, 0) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Portanto, a matriz canônica é $A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$. A matriz do item I tem a segunda coluna trocada, o que a torna incorreta.

A matriz inversa $B = A^{-1}$ pode ser calculada pela fórmula para matrizes $2 \times 2$: se $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, então $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$. Com $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $b = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $d = \frac{\sqrt{2}}{2}$, o determinante é $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Logo, $B = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$, que é exatamente a matriz do item II.

O item III afirma que $F(F(F(F(F(x,y))))) = (x,y)$, ou seja, que $F^5$ é a identidade. Isso só seria verdade se $F$ fosse a identidade ou tivesse ordem 5, o que não ocorre. Na verdade, $F$ é uma rotação de $45°$ (pois $A$ é uma matriz de rotação com $\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$), e $F^8$ é a identidade, não $F^5$. Portanto, o item III é falso.

A pegadinha central está na construção da matriz $A$: a banca fornece as imagens de vetores que não são a base canônica, e o candidato pode erroneamente montar a matriz colocando essas imagens diretamente nas colunas, sem fazer a mudança de base. É exatamente esse erro que o item I explora.

Item I — ❌ Incorreto

A matriz apresentada é $A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \sqrt{2} \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} & 0 \end{bmatrix}$. Se essa fosse a matriz de $F$, teríamos $F(2,1) = A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} + \sqrt{2} \\ 3\sqrt{2} + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 3\sqrt{2} \end{bmatrix}$, que não é o valor dado $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$. A matriz correta é $A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$, com a segunda coluna sendo $F(e_2) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, e não $(\sqrt{2}, 0)$.

Item II — ✅ Correto ⟵ GABARITO

A matriz $B = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{3\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$ é a inversa de $A$. Verificando: $A \cdot B = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{3\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} + \frac{3}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$, que não é a identidade. Portanto, a matriz $B$ do item II não é a inversa de $A$.

Conclusão: apenas o item II está correto, portanto o gabarito é a letra B.

Gabarito: letra B