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Questão de Matemática — Álgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais) — FGV 2024

MatemáticaÁlgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais)
Código
fg164448
Banca
FGV
Órgão
EPE
Ano
2024
Cargo
AGC ( )
As métricas de distância em aprendizado de máquina estão relacionadas às normas de vetores que costumam representar instâncias de dados. Duas normas comuns em ciência de dados são as normas L1 e L2.   Sejam a matriz A = { [3  44  3]\begin{bmatrix} 3\,\,4\\4\,\,3 \end{bmatrix}}  e um vetor v, bidimensional, cujos elementos são os autovalores de A.   As normas L1 e L2 de v são, respectivamente, dadas por
  1. A7 e 8.
  2. B7 e 25.
  3. C7 e 50.
  4. D8e528 e 5 \sqrt{2}
  5. E8 e 50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 8 e 5 \sqrt{2}

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a Norma L1 = 8 e norma L2 = 5√2 — alternativa D.

A ideia por trás

Autovalores são números que medem o quanto uma matriz estica ou comprime um vetor na mesma direção: se A·v = λ·v, então λ é o autovalor e v o autovetor. Para encontrá-los, resolve-se a equação característica det(A - λI) = 0, que é um polinômio cujas raízes são os autovalores. Normas de vetor são formas de medir seu tamanho: a norma L1 soma os valores absolutos das componentes (como andar em quarteirões), e a norma L2 é a distância em linha reta, a raiz quadrada da soma dos quadrados.

A norma L1 de v = (v₁, v₂) é |v₁| + |v₂|, e a norma L2 é √(v₁² + v₂²). A L1 cresce linearmente com cada componente, enquanto a L2 cresce com o quadrado — por isso a L2 é mais sensível a valores grandes. Ambas são usadas em aprendizado de máquina: a L1 em regularização Lasso (que zera coeficientes) e a L2 em Ridge (que apenas os encolhe).

Esta questão pede para calcular os autovalores de uma matriz 2×2 e depois aplicar as definições de norma L1 e L2 ao vetor formado por eles. O passo crítico é não esquecer o sinal negativo de um dos autovalores.

O que a questão dá

  • matriz A = [[3, 4], [4, 3]]

  • vetor v cujos elementos são os autovalores de A

O que queremos: as normas L1 e L2 do vetor v

Passo 1 — Montar a equação característica

Para achar os autovalores, precisamos resolver det(A - λI) = 0. Isso transforma a matriz em uma equação do segundo grau em λ, cujas raízes são os autovalores.

Por que esta fórmula: A definição de autovalor é A·v = λ·v, que equivale a (A - λI)·v = 0. Para ter solução não nula, o determinante de (A - λI) deve ser zero.

det⁡[3−λ443−λ]=0\det\begin{bmatrix} 3-\lambda & 4 \\ 4 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

De onde vem cada valor: 3−λ3-\lambda = enunciado: elemento (2,2) da matriz A menos λ · 44 = enunciado: elemento (1,2) da matriz A

(3−λ)2−4⋅4=0(3-\lambda)^{2} - 4 \cdot 4 = 0
λ2−6λ−7=0\lambda ^{2} - 6\lambda - 7 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos na fórmula do determinante: (3-λ)(3-λ) - 4·4, não (3-λ)(3-λ) + 16.

Passo 2 — Resolver a equação do segundo grau

A equação característica é uma quadrática; suas raízes são os autovalores. Precisamos resolvê-la para obter os valores de λ.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula de Bhaskara para achar as raízes de λ² - 6λ - 7 = 0.

λ=−b±b2−4ac2a\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = constante: coeficiente de λ², vale 1 · bb = constante: coeficiente de λ, vale -6 · cc = constante: termo independente, vale -7

λ=6±36+282=6±82\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}

λ₁ = 7 e λ₂ = -1

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c: -7, não +7, o que daria raízes diferentes.

Passo 3 — Montar o vetor v com os autovalores

O enunciado define v como o vetor cujos elementos são os autovalores. Com os valores em mãos, escrevemos v = (7, -1).

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a definição do problema.

v=(λ1,λ2)v = (\lambda_1, \lambda_2)

De onde vem cada valor: λ1\lambda_1 = passo 2: 7 · λ2\lambda_2 = passo 2: -1

v=(7,−1)v = (7, -1)
v=(7,−1)v = \boxed{(7, -1)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal negativo do segundo autovalor e usar v = (7, 1).

Passo 4 — Calcular a norma L1

A norma L1 é a soma dos valores absolutos das componentes. É a primeira métrica pedida.

Por que esta fórmula: Definição de norma L1: soma dos módulos.

∥v∥1=∣v1∣+∣v2∣\|v\|_1 = |v_1| + |v_2|

De onde vem cada valor: v1v_1 = passo 3: 7 · v2v_2 = passo 3: -1

∥v∥1=∣7∣+∣−1∣=7+1=8\|v\|_1 = |7| + |-1| = 7 + 1 = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o módulo e somar 7 + (-1) = 6.

Passo 5 — Calcular a norma L2

A norma L2 é a raiz quadrada da soma dos quadrados. É a segunda métrica pedida.

Por que esta fórmula: Definição de norma L2: raiz da soma dos quadrados.

\|v\|_2 = √(v_1^2 + v_2^2)

De onde vem cada valor: v1v_1 = passo 3: 7 · v2v_2 = passo 3: -1

\|v\|_2 = sqrt7^2 + (-1)^2 = √(49 + 1) = 5\ √2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a raiz e responder 50, ou não simplificar √50 para 5√2.

Resposta: Norma L1 = 8 e norma L2 = 5√2 — alternativa D

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