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Questão de Matemática — Determinantes — FGV 2024

MatemáticaDeterminantes
Código
fg164457
Banca
FGV
Órgão
EPE
Ano
2024
Cargo
APE ( )

Sobre as matrizes a seguir,

 

\overset{A} { \begin{bmatrix}2\,\,\,16\,\,\,5\\11\,\,\,4\,\,\,12\\9\,\,\,\,7\,\,\,\,3 \end{bmatrix}}\,\,\,\overset{B} { \begin{bmatrix}1\,\,\,21\,\,\,2\,\,\,0\\6\,\,\,9\,\,\,16\,\,\,5\\8\,\,\,11\,\,\,4\,\,\,\,12\\2\,\,\,\,9\,\,\,7\,\,\,3 \end{bmatrix}}

Sobre essas matrizes, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a verdadeira e (F) para a falsa.


(   ) As matrizes A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e 4, respectivamente.


(   ) As matrizes A e B não podem ser multiplicadas uma vez que, o número de linhas da primeira matriz é diferente do número de colunas da segunda.


(   ) O determinante da matriz A é -156.


As afirmativas são, respectivamente,

  1. AV – V – V.
  2. BV – V – F.
  3. CV – F – V.
  4. DF – F – V.
  5. EF – V – V.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — V – V – F.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Matrizes e Determinantes

Gabarito: letra B — a sequência correta é V – V – F. A matriz A é quadrada de ordem 3 (3 linhas × 3 colunas) e a matriz B é quadrada de ordem 4 (4 linhas × 4 colunas), logo a primeira afirmativa é verdadeira. A segunda afirmativa também é verdadeira: para multiplicar A×B, o número de colunas de A (3) deveria ser igual ao número de linhas de B (4), o que não ocorre — e o motivo citado (número de linhas da primeira diferente do número de colunas da segunda) é uma forma válida de justificar a impossibilidade, pois a condição necessária é justamente que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A terceira afirmativa é falsa: o determinante da matriz A é −156? Vamos calcular: pela regra de Sarrus, det(A) = (2·4·3 + 16·12·9 + 5·11·7) − (5·4·9 + 2·12·7 + 16·11·3) = (24 + 1728 + 385) − (180 + 168 + 528) = 2137 − 876 = 1261, e não −156. Portanto, a sequência correta é V – V – F.

O que está em jogo aqui são dois conceitos básicos de álgebra linear: a ordem de uma matriz e a condição de existência do produto entre matrizes. A ordem de uma matriz é dada pelo par (número de linhas × número de colunas). Uma matriz é dita quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. No caso, A tem 3 linhas e 3 colunas (ordem 3), e B tem 4 linhas e 4 colunas (ordem 4).

Para que o produto de duas matrizes exista, é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. Se isso não ocorre, o produto não está definido. A afirmativa II diz que "o número de linhas da primeira matriz é diferente do número de colunas da segunda" — isso é verdade, mas a justificativa apresentada é a condição correta para a impossibilidade, pois a condição necessária é justamente que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. Como 3 ≠ 4, o produto A×B não existe.

O determinante de uma matriz de ordem 3 pode ser calculado pela regra de Sarrus. Para a matriz A, temos:

det⁡(A)=(2⋅4⋅3+16⋅12⋅9+5⋅11⋅7)−(5⋅4⋅9+2⋅12⋅7+16⋅11⋅3)\det(A) = (2\cdot4\cdot3 + 16\cdot12\cdot9 + 5\cdot11\cdot7) - (5\cdot4\cdot9 + 2\cdot12\cdot7 + 16\cdot11\cdot3)
=(24+1728+385)−(180+168+528)=2137−876=1261= (24 + 1728 + 385) - (180 + 168 + 528) = 2137 - 876 = 1261

Portanto, o determinante é 1261, e não −156. A afirmativa III é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato com o valor −156, que não corresponde a nenhum cálculo correto. O erro comum é inverter os sinais na regra de Sarrus ou trocar a ordem das operações. Fique atento: o determinante de A é 1261, um número positivo, e não −156.

Afirmativa

Análise

Valor

I

A é quadrada de ordem 3 (3×3); B é quadrada de ordem 4 (4×4)

V

II

Para A×B, exige-se colunas de A = linhas de B; 3 ≠ 4, logo o produto não existe

V

III

det(A) = (24 + 1728 + 385) − (180 + 168 + 528) = 2137 − 876 = 1261, não −156

F

Alternativa A — ❌ Incorreta

A sequência V – V – V é incorreta porque a terceira afirmativa é falsa. O determinante de A é 1261, não −156. A banca coloca um valor negativo para induzir o candidato a pensar que o determinante é negativo, mas o cálculo correto mostra que é positivo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência V – V – F é a correta. A primeira afirmativa é verdadeira (A é ordem 3, B é ordem 4). A segunda é verdadeira (o produto A×B não existe, pois o número de colunas de A é 3 e o número de linhas de B é 4, e a justificativa apresentada é válida). A terceira é falsa (det(A) = 1261, não −156).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A sequência V – F – V é incorreta porque a segunda afirmativa é verdadeira, não falsa. O produto A×B não pode ser realizado, pois o número de colunas de A (3) é diferente do número de linhas de B (4). A justificativa apresentada na afirmativa é correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A sequência F – F – V é incorreta porque a primeira afirmativa é verdadeira (A é ordem 3, B é ordem 4) e a segunda também é verdadeira (o produto não existe). A terceira é falsa (det(A) = 1261).

Alternativa E — ❌ Incorreta

A sequência F – V – V é incorreta porque a primeira afirmativa é verdadeira (A é ordem 3, B é ordem 4) e a terceira é falsa (det(A) = 1261, não −156).

Gabarito: letra B

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