Questão de Matemática — Logaritmo — FGV 2024

Logaritmos: propriedades operatórias

Gabarito: letra B — o valor de log(24) é 3a + b. Isso decorre de decompor 24 em fatores primos (24 = 2³ × 3) e aplicar as propriedades do logaritmo do produto e da potência: log(24) = log(2³) + log(3) = 3·log(2) + log(3) = 3a + b.

O logaritmo é o expoente ao qual se deve elevar uma base para obter um certo número. Por exemplo, log₂(8) = 3, pois 2³ = 8. As propriedades operatórias dos logaritmos permitem transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações e potências em multiplicações, o que simplifica cálculos com números grandes. A propriedade do logaritmo do produto afirma que log(x·y) = log(x) + log(y), e a do logaritmo da potência afirma que log(xⁿ) = n·log(x). Essas propriedades valem para qualquer base, desde que o logaritmando seja positivo e a base seja positiva e diferente de 1.

Para resolver a questão, o primeiro passo é fatorar o número 24 em seus fatores primos: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3. Em seguida, aplicamos a propriedade do logaritmo do produto para separar os fatores: log(24) = log(2³ × 3) = log(2³) + log(3). Depois, aplicamos a propriedade do logaritmo da potência no primeiro termo: log(2³) = 3·log(2). Como o enunciado fornece log(2) = a e log(3) = b, substituímos e obtemos log(24) = 3a + b.

A banca explora a confusão entre a propriedade do logaritmo da potência e a operação de potenciação. O candidato pode ser tentado a escrever log(2³) como a³, mas a propriedade correta é log(2³) = 3·log(2) = 3a.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A apresenta a³ + b, que sugere elevar o logaritmo de 2 ao cubo. Isso confunde a propriedade do logaritmo da potência com a potenciação do próprio logaritmo. A propriedade correta é log(2³) = 3·log(2) = 3a, e não (log 2)³ = a³. Portanto, a alternativa está errada.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa B apresenta 3a + b, que é exatamente o resultado obtido pela aplicação correta das propriedades: log(24) = log(2³ × 3) = log(2³) + log(3) = 3·log(2) + log(3) = 3a + b. Portanto, está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta 3ab, que sugere multiplicar os logaritmos de 2 e 3. Isso contraria a propriedade do logaritmo do produto, que transforma o produto em soma: log(2³ × 3) = log(2³) + log(3). Não há propriedade que justifique a multiplicação dos logaritmos. Portanto, está errada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta 3 + a + b, que sugere somar o número 3 aos logaritmos. Isso confunde o expoente 3 da potência 2³ com uma parcela aditiva. O correto é multiplicar o logaritmo de 2 por 3, não somar 3. Portanto, está errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta a³ + b, que é idêntica à alternativa A. Como já explicado, isso confunde a propriedade do logaritmo da potência com a potenciação do logaritmo. O correto é 3a + b, não a³ + b. Portanto, está errada.

Gabarito: letra B