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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg164508
Banca
FGV
Órgão
TCE RJ
Ano
2024
Cargo
Est ( )
Arquimedes tem 10 livros, todos diferentes, sendo 3 romances, 4 de ficção e 3 de tecnologia.   O número de maneiras diferentes de Arquimedes arrumar os 10 livros em uma prateleira, um ao lado do outro, de tal modo que os livros de romance fiquem juntos e os livros de ficção também fiquem juntos é:
  1. A17280.
  2. B15552.
  3. C10368.
  4. D5184.
  5. E864.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 17280.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 17.280 maneiras — alternativa A.

A ideia por trás

Quando um problema pede para manter certos elementos sempre juntos, a técnica é tratá-los como um único bloco. Isso transforma o problema em duas etapas: primeiro, organizar os elementos dentro de cada bloco; depois, organizar os blocos entre si. O princípio multiplicativo diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n, o total de combinações é m × n.

A permutação de n elementos distintos é n! (fatorial), que conta todas as ordens possíveis. Quando agrupamos elementos obrigatoriamente juntos, contamos as permutações internas de cada grupo (por exemplo, 3! para os romances) e depois as permutações dos blocos formados (por exemplo, 5! para os 5 blocos). O total é o produto desses fatoriais, porque cada escolha interna pode combinar com cada ordem dos blocos.

Esta questão cobra exatamente essa técnica: identificar os dois blocos obrigatórios (romances e ficção) e os elementos soltos (tecnologia), e então aplicar o princípio multiplicativo com os fatoriais corretos.

O que a questão dá

  • 10 livros no total

  • 3 romances

  • 4 livros de ficção

  • 3 livros de tecnologia

O que queremos: o número de maneiras de arrumar os 10 livros na prateleira com romances juntos e ficção juntos

Passo 1 — Formar os blocos obrigatórios

Para garantir que os romances fiquem juntos e a ficção fique junta, precisamos amarrar cada grupo como se fosse um único objeto. Isso reduz o problema de 10 itens para 5 blocos: um bloco de romances, um bloco de ficção e os 3 livros de tecnologia soltos.

5 blocos\boxed{5\ \text{blocos}}
NÃO CAIA NESSA!

Tratar os livros de tecnologia como um bloco único, o que daria 3 blocos em vez de 5.

Passo 2 — Permutar os livros dentro de cada bloco

Dentro de cada bloco, os livros podem ser organizados de várias ordens, e cada ordem é uma arrumação diferente. Precisamos contar essas possibilidades internas antes de misturar os blocos.

Por que esta fórmula: A permutação de n elementos distintos é n!, pois o primeiro pode ser escolhido de n maneiras, o segundo de n-1, e assim por diante.

Pinterna=3!×4!P_{interna} = 3! \times 4!

De onde vem cada valor: 3!3! = enunciado: 3 romances · 4!4! = enunciado: 4 livros de ficção

Pinterna=6×24=144P_{interna} = 6 \times 24 = \boxed{144}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelas permutações internas, contando apenas a ordem dos blocos.

Passo 3 — Permutar os 5 blocos na prateleira

Agora que os blocos estão formados, precisamos organizá-los na prateleira. Como são 5 blocos distintos (romances, ficção, tecnologia 1, tecnologia 2, tecnologia 3), o número de ordens é a permutação de 5 elementos.

Por que esta fórmula: A permutação de n elementos é n!, então para 5 blocos temos 5!.

Pblocos=5!P_{blocos} = 5!

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: 5 blocos

Pblocos=120=120P_{blocos} = 120 = \boxed{120}
NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas 3 blocos (romances, ficção, tecnologia) e usar 3!, esquecendo que os livros de tecnologia são individuais.

Passo 4 — Multiplicar as possibilidades

Cada ordem interna dos romances pode combinar com cada ordem interna da ficção e com cada ordem dos blocos. O princípio multiplicativo manda multiplicar todas as contagens independentes.

Por que esta fórmula: Se uma escolha tem a opções, outra tem b e outra tem c, o total é a × b × c.

Total=3!×4!×5!Total = 3! \times 4! \times 5!

De onde vem cada valor: 3!3! = passo 2: permutação dos romances · 4!4! = passo 2: permutação da ficção · 5!5! = passo 3: permutação dos blocos

Total=6×24×120=17280Total = 6 \times 24 \times 120 = \boxed{17280}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas 3! × 4! × 3! (tratando tecnologia como bloco) ou esquecer um dos fatoriais.

Resposta: 17.280 maneiras — alternativa A

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