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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — FGV 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
fg164509
Banca
FGV
Órgão
TCE RJ
Ano
2024
Cargo
Est ( )
Um número natural N de 2 algarismos é tal que quando dividido por 9 deixa resto 8 e quando dividido por 10 deixa resto 5.   Esse número N quando é dividido por 11 deixa resto
  1. A2.
  2. B4.
  3. C5.
  4. D6.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a resto = 2 — alternativa A.

A ideia por trás

Quando dividimos um número por outro, o resto é o que sobra depois de tirar o maior múltiplo possível do divisor. Por exemplo, dividir 17 por 5 dá quociente 3 e resto 2, porque 3×5 = 15 e 17 − 15 = 2. Uma condição de resto como 'dividido por 10 deixa resto 5' significa que o número é 5 unidades maior que um múltiplo de 10 — e, como todo múltiplo de 10 termina em 0, o número termina em 5.

Para descobrir um número a partir de restos, usamos a definição: N = divisor × quociente + resto. Assim, 'N dividido por 9 deixa resto 8' equivale a N = 9q + 8, ou seja, N − 8 é múltiplo de 9. Da mesma forma, 'N dividido por 10 deixa resto 5' equivale a N = 10p + 5, o que força o último algarismo a ser 5. Essas duas condições juntas restringem as possibilidades até sobrar um único número.

Esta questão pede para encontrar N usando as duas condições de resto e depois calcular o resto da divisão por 11. A estratégia é listar os números de dois algarismos que terminam em 5 e testar quais satisfazem a condição do 9.

O que a questão dá

  • N é um número natural de 2 algarismos

  • N dividido por 9 deixa resto 8

  • N dividido por 10 deixa resto 5

O que queremos: o resto da divisão de N por 11

Passo 1 — Listar os números que terminam em 5

A condição 'dividido por 10 deixa resto 5' é a mais fácil de visualizar: todo número que termina em 5, ao ser dividido por 10, deixa resto 5. Como N tem dois algarismos, ele só pode ser um dos números de 15 a 95 que terminam em 5.

15 ,25,35,45,55,65,75,85,95\boxed{15\ , 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o 15 ou incluir o 5, que não tem dois algarismos.

Passo 2 — Testar a condição do resto 8

Agora que temos uma lista pequena, aplicamos a outra condição: N − 8 deve ser múltiplo de 9. Isso elimina todos os candidatos que não satisfazem a primeira condição.

Por que esta fórmula: A definição de resto: se N dividido por 9 deixa resto 8, então N = 9q + 8, logo N − 8 = 9q, que é múltiplo de 9.

N−8 eˊ muˊltiplo de 9N - 8 \text{ é múltiplo de } 9

De onde vem cada valor: NN = passo 1: cada candidato · 88 = enunciado: resto da divisão por 9

15−8=7,25−8=17,35−8=27,45−8=37,55−8=47,65−8=57,75−8=67,85−8=77,95−8=8715-8=7, 25-8=17, 35-8=27, 45-8=37, 55-8=47, 65-8=57, 75-8=67, 85-8=77, 95-8=87
apenas35−8=27 eˊmuˊltiplode9apenas 35 - 8 = \boxed{27\ é \text{m}ú\text{ltiplo} \text{de} 9}
NÃO CAIA NESSA!

Testar N + 8 em vez de N − 8, ou esquecer de testar todos os candidatos.

Passo 3 — Calcular o resto da divisão por 11

Já sabemos que N = 35. Agora precisamos responder à pergunta: qual é o resto de 35 dividido por 11? Basta fazer a divisão.

Por que esta fórmula: O resto é o que sobra após subtrair o maior múltiplo de 11 menor ou igual a 35. 3×11 = 33, então 35 − 33 = 2.

35=3×11+r35 = 3 \times 11 + r

De onde vem cada valor: 3535 = passo 2: N = 35 · 33 = constante: quociente da divisão de 35 por 11 · 1111 = enunciado: divisor pedido · rr = incógnita: resto procurado

35=3×11+235 = 3 \times 11 + 2
resto=2resto = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar o critério de divisibilidade por 11 e achar que o resto é a diferença das somas (5 − 3 = 2), mas confundir com o resto da divisão — na verdade, para números de dois algarismos, o resto é exatamente essa diferença, mas é mais seguro fazer a divisão direta.

Resposta: resto = 2 — alternativa A

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