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Questão de Matemática — Progressão Aritmética — FGV 2024

MatemáticaProgressão Aritmética
Código
fg164512
Banca
FGV
Órgão
TCE RJ
Ano
2024
Cargo
Est ( )
O conjunto S é formado por todos os números inteiros, maiores que O (zero), menores que 100 e que não são múltiplos de 4. A soma dos elementos de C é igual a
  1. A3500.
  2. B3550.
  3. C3600.
  4. D3650.
  5. E3750.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 3750.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 3750 — alternativa E.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma constante, chamada razão. A soma dos termos de uma PA pode ser calculada sem somar um a um, usando a fórmula S = (primeiro + último) × quantidade ÷ 2, que funciona porque a média entre o primeiro e o último é a média de todos os termos.

A fórmula da soma é S_n = (a_1 + a_n) · n / 2, onde a_1 é o primeiro termo, a_n é o último e n é a quantidade de termos. Ela vale para qualquer PA, inclusive as que começam em 4 e vão de 4 em 4. Para saber quantos termos existem, usa-se a_n = a_1 + (n-1)·r, isolando n.

Esta questão pede a soma de um conjunto que é a diferença entre duas PAs: todos os números de 1 a 99 menos os múltiplos de 4. A estratégia é calcular cada soma separadamente e subtrair.

O que a questão dá

  • números inteiros maiores que 0 e menores que 100

  • excluir os múltiplos de 4

O que queremos: a soma dos números inteiros de 1 a 99 que não são múltiplos de 4

Passo 1 — Calcular a soma de 1 a 99

O conjunto S é formado por quase todos os números de 1 a 99, então começar pela soma de todos eles dá uma base. Essa soma é uma PA com razão 1, e a fórmula da soma evita somar 99 números um a um.

Por que esta fórmula: A soma dos termos de uma PA é a média entre o primeiro e o último multiplicada pela quantidade de termos. Aqui o primeiro é 1, o último é 99 e há 99 termos.

S99=(a1+a99)⋅992S_{99} = \frac{(a_1 + a_{99}) \cdot 99}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 1 · a99a_{99} = enunciado: 99 · 9999 = enunciado: números de 1 a 99

S99=(1+99)⋅992=4950S_{99} = \frac{(1 + 99) \cdot 99}{2} = \boxed{4950}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 9900

Passo 2 — Descobrir quantos múltiplos de 4 existem

Para subtrair a soma dos múltiplos de 4, precisamos saber quantos são. Eles formam uma PA de razão 4, e a fórmula do termo geral permite achar a quantidade.

Por que esta fórmula: O último múltiplo de 4 antes de 100 é 96. Usando a_n = a_1 + (n-1)·r, com a_1 = 4, r = 4 e a_n = 96, isolamos n.

96=4+(n−1)⋅496 = 4 + (n-1) \cdot 4

De onde vem cada valor: 9696 = enunciado: último múltiplo de 4 menor que 100 · 44 = enunciado: primeiro múltiplo de 4 · n−1n-1 = definição: quantidade de passos de razão 4

96=4+(n−1)⋅496 = 4 + (n-1) \cdot 4
n=24n = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 25 múltiplos, incluindo o 100, que está fora do intervalo

Passo 3 — Calcular a soma dos múltiplos de 4

Com a quantidade de múltiplos em mãos, aplicamos a mesma fórmula de soma de PA para eles. Isso nos dá o valor que deve ser retirado do total.

Por que esta fórmula: A soma dos 24 múltiplos de 4 é uma PA com primeiro termo 4, último 96 e 24 termos. Usamos a mesma fórmula do passo 1.

S24=(4+96)⋅242S_{24} = \frac{(4 + 96) \cdot 24}{2}

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: primeiro múltiplo de 4 · 9696 = enunciado: último múltiplo de 4 · 2424 = passo 2: quantidade de múltiplos

S24=(4+96)⋅242=1200S_{24} = \frac{(4 + 96) \cdot 24}{2} = \boxed{1200}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 100 como último termo, somando 100 em vez de 96

Passo 4 — Subtrair a soma dos múltiplos de 4

O conjunto S é exatamente o total de 1 a 99 menos os múltiplos de 4. Subtrair as duas somas dá o resultado pedido.

Por que esta fórmula: Não há fórmula nova: é a operação de subtração entre os resultados dos passos 1 e 3.

SS=S99−S24S_{S} = S_{99} - S_{24}

De onde vem cada valor: S99S_{99} = passo 1: 4950 · S24S_{24} = passo 3: 1200

SS=4950−1200=3750S_{S} = 4950 - 1200 = \boxed{3750}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, obtendo 6150

Resposta: 3750 — alternativa E

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