Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Matrizes: interpretação de elementos e totais por linha e coluna

Gabarito: letra C. A matriz dada é uma matriz de transição: cada elemento $a_{ij}$ representa o número de pessoas que assistiram à palestra na sala $i$ pela manhã e na sala $j$ à tarde. Assim, a soma dos elementos de uma linha dá o total de pessoas que estiveram naquela sala pela manhã, e a soma dos elementos de uma coluna dá o total de pessoas que estiveram naquela sala à tarde. Calculando as somas, a sala 1 à tarde teve 51 pessoas, a sala 2 teve 49 e a sala 3 teve 44 — logo, a sala 1 teve o maior número de pessoas à tarde, o que confirma a alternativa C.

A questão é uma aplicação direta do conceito de matriz como tabela de dados. Em uma matriz $A = (a_{ij})_{m \times n}$, o primeiro índice ($i$) indica a linha e o segundo ($j$) indica a coluna. Aqui, a matriz é $3 \times 3$ (3 linhas e 3 colunas), e cada elemento $a_{ij}$ guarda uma contagem: quantas pessoas fizeram a transição da sala $i$ (pela manhã) para a sala $j$ (à tarde).

A chave para resolver é entender que:

• Soma da linha $i$ = total de pessoas que estiveram na sala $i$ pela manhã (independentemente de para onde foram à tarde).

• Soma da coluna $j$ = total de pessoas que estiveram na sala $j$ à tarde (independentemente de onde estavam pela manhã).

Vamos calcular cada total:

Manhã (somas das linhas):

• Sala 1: $15 + 12 + 20 = 47$

• Sala 2: $22 + 19 + 8 = 49$

• Sala 3: $14 + 18 + 16 = 48$

Tarde (somas das colunas):

• Sala 1: $15 + 22 + 14 = 51$

• Sala 2: $12 + 19 + 18 = 49$

• Sala 3: $20 + 8 + 16 = 44$

Com esses números, podemos julgar cada alternativa. Note que o total de pessoas é a soma de qualquer linha (ou coluna), pois cada pessoa assistiu exatamente uma palestra pela manhã e uma à tarde. Somando a linha 1: $47$; linha 2: $49$; linha 3: $48$. O total é $47 + 49 + 48 = 144$ pessoas. (Alternativamente, somando as colunas: $51 + 49 + 44 = 144$.)

A pegadinha clássica da banca é inverter a leitura: confundir linha com coluna, ou seja, achar que a soma da linha dá o total da tarde e a soma da coluna dá o total da manhã. É exatamente isso que as alternativas A, B, D e E exploram.

Guarde o critério: linha = manhã, coluna = tarde. É essa distinção que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que "de manhã havia duas salas com mesmo número de pessoas". Pela manhã, os totais são: sala 1 = 47, sala 2 = 49, sala 3 = 48. Nenhum par é igual. A banca tenta confundir com os totais da tarde (51, 49, 44), que também não têm repetição. Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que "de manhã a sala 3 teve o menor número de pessoas". Pela manhã, a sala 3 teve 48 pessoas, mas a sala 1 teve 47 — que é o menor número. A sala 3 não é a menor; ela é a do meio. A banca inverte a ordem: o menor total da manhã é da sala 1, não da sala 3.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que "de tarde a sala 1 teve o maior número de pessoas". À tarde, os totais são: sala 1 = 51, sala 2 = 49, sala 3 = 44. De fato, 51 é o maior valor. A alternativa está correta, pois a soma da coluna 1 (15 + 22 + 14) é a maior entre as colunas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que "de tarde a sala 2 teve o menor número de pessoas". À tarde, a sala 2 teve 49 pessoas, mas a sala 3 teve 44 — que é o menor número. A sala 2 é a do meio, não a menor. A banca troca a sala 2 pela sala 3.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que "ao todo 140 pessoas assistiram às palestras". O total é a soma de qualquer linha ou coluna: $47 + 49 + 48 = 144$ (ou $51 + 49 + 44 = 144$). O número 140 não corresponde a nenhum total parcial; é um distrator numérico. O total correto é 144.

Gabarito: letra C — a sala 1 teve o maior número de pessoas à tarde (51).