Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — FGV 2024

Função de Segundo Grau: valor mínimo

Gabarito: letra C — o valor mínimo de $f(x) = \dfrac{x^3 - x}{x + 1}$ é $-\dfrac{1}{4}$. A função, embora apresente um termo cúbico, pode ser simplificada para uma função quadrática $f(x) = x^2 - x$ (para $x \neq -1$), cujo vértice, ponto de mínimo, ocorre em $x = \dfrac{1}{2}$, resultando em $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4}$.

A questão exige que o candidato reconheça a possibilidade de simplificação algébrica antes de aplicar as propriedades da função quadrática. O numerador $x^3 - x$ é um produto notável: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$. Assim, ao dividir por $x + 1$ (com a condição $x \neq -1$), obtemos $f(x) = x(x - 1) = x^2 - x$. Essa é uma função do segundo grau com coeficiente $a = 1 > 0$, o que garante que sua parábola tem concavidade para cima e, portanto, possui um ponto de mínimo (e não de máximo).

O vértice de uma parábola $f(x) = ax^2 + bx + c$ é dado por $x_v = -\dfrac{b}{2a}$. Aplicando à função simplificada, temos $x_v = -\dfrac{(-1)}{2 \cdot 1} = \dfrac{1}{2}$. Para encontrar o valor mínimo, basta substituir $x_v$ na função: $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}$. Portanto, o valor mínimo é $-\dfrac{1}{4}$.

A principal armadilha desta questão é o candidato tentar derivar a função original $\dfrac{x^3 - x}{x + 1}$ sem simplificá-la, o que levaria a um cálculo mais complexo e sujeito a erros. A simplificação é a chave: ela transforma a função em uma quadrática, cujo vértice é facilmente calculado. Além disso, é importante notar que a condição $x \neq -1$ não afeta o valor mínimo, pois o ponto de mínimo $x = \dfrac{1}{2}$ está dentro do domínio.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $-1$ seria obtido se o candidato calculasse $f(-1)$, mas $x = -1$ não está no domínio da função original (pois o denominador se anula). Além disso, mesmo que se considerasse a função simplificada $x^2 - x$, $f(-1) = 2$, não $-1$. Portanto, essa alternativa não corresponde ao valor mínimo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $-\dfrac{1}{2}$ é um distrator comum. Ele poderia ser obtido se o candidato calculasse $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ na função original, mas isso não é o mínimo. Na função simplificada, $f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$, que é positivo. O valor mínimo é $-\dfrac{1}{4}$, que é menor que $-\dfrac{1}{2}$? Não, $-\dfrac{1}{4}$ é maior que $-\dfrac{1}{2}$. Portanto, essa alternativa está incorreta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a função simplificada é $f(x) = x^2 - x$, cujo vértice é $x_v = \dfrac{1}{2}$ e o valor mínimo é $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4}$. Este é exatamente o valor apresentado na alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $0$ é uma raiz da função simplificada ($x = 0$ ou $x = 1$), mas não é o valor mínimo. O mínimo é negativo, $-\dfrac{1}{4}$, portanto $0$ não pode ser o valor mínimo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{1}{4}$ é positivo, mas o mínimo de uma função com concavidade para cima é negativo (já que o vértice está abaixo do eixo x). Esse valor poderia ser obtido se o candidato calculasse $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ na função simplificada, que resulta em $\dfrac{3}{4}$, ou se confundisse o sinal do resultado. Portanto, está incorreto.

Gabarito: letra C