Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg164515
Banca
FGV
Órgão
TCE RJ
Ano
2024
Cargo
Est ( )
Utilizando apenas as vogais do nosso alfabeto, Regina deve registrar uma senha para sua conta bancária formada por quatro letras de forma que não existam duas letras iguais juntas. Nesse caso, o número de senhas possíveis é
A320.
B360.
C400.
D480.
E500.
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GabaritoA — 320.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 320 senhas — alternativa A.
A ideia por trás
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é a ferramenta básica para contar possibilidades: quando uma escolha pode ser feita em etapas sucessivas, o total de combinações é o produto das opções de cada etapa. Aqui, montar a senha é uma sequência de 4 escolhas de vogais, e a única regra é que a letra de cada posição não pode ser igual à da posição anterior.
A relação é simples: multiplicar as quantidades de opções de cada posição. Se a primeira posição tem n1 opções, a segunda n2, e assim por diante, o total é n1 × n2 × n3 × n4. O que muda é quantas opções cada posição tem, dependendo da restrição. Neste caso, a restrição é local: cada posição só 'enxerga' a anterior, então a partir da segunda posição sempre há 4 opções (todas as vogais menos a que acabou de ser usada).
Esta questão cobra exatamente o PFC com uma restrição de vizinhança: a primeira posição tem 5 opções, e cada uma das seguintes tem 4, porque não pode repetir a letra imediatamente anterior. O erro clássico é confundir essa regra com 'letras todas diferentes', que seria um arranjo.
O que a questão dá
vogais disponíveis: A, E, I, O, U (5 letras)
senha com 4 posições
não pode haver duas letras iguais juntas
O que queremos: o número de senhas possíveis
Passo 1 — Escolher a primeira letra
A primeira posição não tem nenhuma letra anterior para respeitar, então qualquer uma das 5 vogais serve. É o ponto de partida da contagem.
NÃO CAIA NESSA!
Nenhum erro comum aqui, mas é importante registrar que são 5, não 4.
Passo 2 — Escolher a segunda letra
A segunda posição não pode ser igual à primeira, então das 5 vogais sobram 4. A restrição é apenas com a letra imediatamente anterior, não com todas as anteriores.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a segunda posição também tem 5 opções, esquecendo a restrição de não repetir a primeira.
Passo 3 — Escolher a terceira letra
A terceira posição só precisa ser diferente da segunda. A primeira letra pode se repetir aqui, porque não está junto. Então ainda há 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Pensar que a terceira posição tem 3 opções, como se todas as letras tivessem que ser diferentes. Isso é confundir com arranjo.
Passo 4 — Escolher a quarta letra
A quarta posição segue a mesma lógica: só não pode ser igual à terceira. Portanto, 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Mesmo erro do passo 3: achar que as opções diminuem a cada posição.
Passo 5 — Multiplicar as opções de cada posição
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de senhas é o produto das opções de cada posição, porque cada escolha é independente das demais (a única ligação é com a anterior, já considerada).
Por que esta fórmula: É a definição do PFC: se um processo tem etapas com n1, n2, n3, n4 possibilidades, o total é n1 × n2 × n3 × n4.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 4
NÃO CAIA NESSA!
Usar arranjo (5×4×3×2 = 120) por achar que as letras não podem se repetir de forma alguma.