Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a y = 4 — alternativa B.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. A solução é uma tripla de números (x, y, z) que, substituída em todas as equações, torna cada uma delas uma igualdade correta. Resolver o sistema é encontrar essa tripla.

O método da adição (ou escalonamento) combina as equações para eliminar incógnitas uma a uma. Multiplicamos uma equação por um número e somamos ou subtraímos de outra, de modo que uma incógnita desapareça. Isso reduz o sistema de três equações para duas, depois para uma, até sobrar uma equação com uma única incógnita, que resolvemos diretamente.

Esta questão pede apenas o valor de y, mas para achá-lo precisamos eliminar as outras incógnitas. Vamos usar a primeira equação para eliminar z das outras duas, depois resolver o sistema de duas equações resultante.

O que a questão dá

• equação I: 2x + 6y + z = 35

• equação II: 5x + 3y + 2z = 37

• equação III: 4x + 2y + 3z = 35

O que queremos: o valor de y

Passo 1 — Eliminar z da equação II

Para reduzir o sistema de três equações para duas, precisamos eliminar uma incógnita. A equação I tem coeficiente 1 em z, então é a mais fácil de usar para cancelar z nas outras equações.

Por que esta fórmula: Multiplicamos a equação I por 2 para que o coeficiente de z fique igual ao da equação II (2z). Depois subtraímos a equação II da equação I multiplicada, cancelando z.

De onde vem cada valor: $2 \cdot (I)$ = definição: equação I multiplicada por 2 · $(II)$ = enunciado: equação II

Passo 2 — Eliminar z da equação III

Agora fazemos o mesmo com a equação III, para obter uma segunda equação sem z. Assim teremos um sistema de duas equações com x e y.

Por que esta fórmula: Multiplicamos a equação I por 3 para que o coeficiente de z fique igual ao da equação III (3z). Depois subtraímos a equação III da equação I multiplicada.

De onde vem cada valor: $3 \cdot (I)$ = definição: equação I multiplicada por 3 · $(III)$ = enunciado: equação III

Passo 3 — Montar o sistema com duas equações

Com as duas equações sem z, temos um sistema menor, mais fácil de resolver. Agora precisamos eliminar x para achar y.

Por que esta fórmula: Vamos multiplicar a equação A por 2 para que o coeficiente de x fique oposto ao da equação B, permitindo somar e cancelar x.

De onde vem cada valor: $(A)$ = passo 1: -x + 9y = 33 · $(B)$ = passo 2: 2x + 16y = 70

Passo 4 — Eliminar x e achar y

Com o sistema 2x2, multiplicamos a equação A por 2 para que o coeficiente de x fique -2x, que somado com 2x da equação B se anula. Assim sobra uma equação só com y.

Por que esta fórmula: A soma das equações elimina x, pois -2x + 2x = 0. Depois isolamos y dividindo pelo coeficiente.

De onde vem cada valor: $2 \cdot (A)$ = definição: equação A multiplicada por 2 · $(B)$ = passo 3: 2x + 16y = 70

$34y = 136 \Rightarrow y = 4$

Resposta: y = 4 — alternativa B