Questão de Matemática — Progressão Geométrica — FGV 2025

Progressão Geométrica: transformação de uma PA

Gabarito: letra E. A sequência $b_n = 4^{a_n}$ é uma progressão geométrica de razão 16, pois, sendo $a_n$ uma progressão aritmética de razão 2, a exponencial de base 4 aplicada a cada termo gera uma PG cuja razão é $4^2 = 16$. A alternativa correta é a letra E.

O problema começa com uma progressão aritmética (PA), que é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante (a razão) ao termo anterior. O enunciado informa que o terceiro termo é 5 e o quinto termo é 9. A diferença entre o quinto e o terceiro termo é $9 - 5 = 4$, e essa diferença corresponde a duas vezes a razão (pois do 3º para o 5º termo avançamos duas posições). Assim, a razão da PA é $r = \frac{4}{2} = 2$. Com isso, podemos determinar o primeiro termo: $a_1 = a_3 - 2r = 5 - 4 = 1$. Portanto, a PA é $(1, 3, 5, 7, 9, \ldots)$.

Agora, define-se uma nova sequência $b_n = 4^{a_n}$. Vamos calcular os primeiros termos: $b_1 = 4^1 = 4$, $b_2 = 4^3 = 64$, $b_3 = 4^5 = 1024$, e assim por diante. Observe que, para passar de um termo ao seguinte, multiplicamos por 16: $64 = 4 \times 16$, $1024 = 64 \times 16$. Isso ocorre porque, na PA, cada termo aumenta em 2 unidades, e na exponencial isso corresponde a multiplicar por $4^2 = 16$. Portanto, $b_n$ é uma progressão geométrica (PG) de razão 16.

A propriedade geral é: se $a_n$ é uma PA de razão $r$, então $b_n = k^{a_n}$ (com $k > 0$ e $k \neq 1$) é uma PG de razão $k^r$. Isso acontece porque $b_{n+1} = k^{a_{n+1}} = k^{a_n + r} = k^{a_n} \cdot k^r = b_n \cdot k^r$. A razão da PG é, portanto, a base elevada à razão da PA. Essa é a chave para resolver a questão sem precisar calcular todos os termos.

A pegadinha da banca está em confundir a razão da PA (2) com a razão da PG (16), ou em pensar que a sequência continua sendo aritmética. A transformação exponencial muda a natureza da progressão: a soma constante da PA vira multiplicação constante na PG.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $b_n$ é uma progressão aritmética de razão 2. Isso confunde a razão da PA original com a natureza da nova sequência. Como $b_n = 4^{a_n}$, a diferença entre termos consecutivos não é constante (por exemplo, $64 - 4 = 60$, mas $1024 - 64 = 960$), portanto não é uma PA.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $b_n$ é uma progressão aritmética de razão 16. Novamente, a sequência não é aritmética, pois as diferenças entre termos consecutivos não são constantes. O número 16 é a razão da PG, não da PA.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $b_n$ é uma progressão geométrica de razão 2. A sequência é de fato geométrica, mas a razão não é 2. A razão 2 é a razão da PA original $a_n$, não da PG $b_n$. A razão da PG é $4^2 = 16$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $b_n$ é uma progressão geométrica de razão 8. Esse número não corresponde a nenhuma razão do problema. A razão da PG é $4^2 = 16$, e não 8.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $b_n$ é uma progressão geométrica de razão 16. Isso está correto, pois $b_{n+1} = 4^{a_{n+1}} = 4^{a_n + 2} = 4^{a_n} \cdot 4^2 = b_n \cdot 16$. A razão da PG é exatamente 16.

Gabarito: letra E