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Questão de Matemática — Equações Logarítmicas — FGV 2025

MatemáticaEquações Logarítmicas
Código
fg168030
Banca
FGV
Órgão
CBM RJ
Ano
2025
Cargo
Of AE ( )
Dois números reais positivos N1 e N2 são tais que: log10(N1)−log10(N2)=2. Se N1=36, então N2 é igual a
  1. A3600.
  2. B180.
  3. C18.
  4. D0,36.
  5. E0,18.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 0,36.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a N2 = 0,36 — alternativa D.

A ideia por trás

Logaritmo responde à pergunta: 'qual expoente devo colocar na base para obter o número?'. Por exemplo, log10(100) = 2 porque 10² = 100. Ele é a operação inversa da potenciação, assim como a subtração é a inversa da adição.

Uma propriedade fundamental é a do quociente: log_b(x) - log_b(y) = log_b(x/y). Ela vale para qualquer base b positiva e diferente de 1, e para x e y positivos. Essa propriedade transforma uma subtração de logaritmos em um único logaritmo de uma divisão, simplificando equações. Além disso, a definição de logaritmo diz que log_b(a) = c implica a = b^c, o que permite 'desfazer' o logaritmo e obter uma equação algébrica.

Esta questão cobra exatamente essas duas ideias: primeiro aplicar a propriedade do quociente para juntar os dois logaritmos, e depois usar a definição para transformar a equação logarítmica em uma equação algébrica simples, que se resolve isolando N2.

O que a questão dá

  • log10(N1) - log10(N2) = 2

  • N1 = 36

O que queremos: o valor de N2

Passo 1 — Juntar os dois logaritmos em um só

A equação tem uma subtração de logaritmos de mesma base. A propriedade do quociente permite transformar essa subtração em um único logaritmo de uma divisão, o que simplifica a equação e prepara o terreno para usar a definição de logaritmo.

Por que esta fórmula: A propriedade do logaritmo do quociente é a ferramenta certa porque ela lida exatamente com a diferença de logaritmos de mesma base. Não é uma soma, então não usamos a propriedade do produto; é uma subtração, então usamos a do quociente.

log⁡10(N1)−log⁡10(N2)=log⁡10(N1N2)\log_{10}(N_1) - \log_{10}(N_2) = \log_{10}\left(\frac{N_1}{N_2}\right)

De onde vem cada valor: N1N_1 = enunciado: N1 = 36 · N2N_2 = enunciado: é a incógnita

log⁡10(36N2)=2\log_{10}\left(\frac{36}{N_2}\right) = 2
log10(36/N2)=2log10(36/N2) = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem: escrever log10(N2/N1) em vez de log10(N1/N2). A propriedade é log(x) - log(y) = log(x/y), então o primeiro logaritmo fica no numerador.

Passo 2 — Desfazer o logaritmo usando a definição

Agora temos um logaritmo igual a 2. A definição de logaritmo diz que log_b(a) = c é o mesmo que a = b^c. Isso nos permite eliminar o logaritmo e obter uma equação algébrica simples, que é o passo necessário para isolar N2.

Por que esta fórmula: A definição de logaritmo é a ponte entre a forma logarítmica e a forma exponencial. Como a base é 10, o número 2 vira o expoente de 10.

N1N2=102\frac{N_1}{N_2} = 10^{2}

De onde vem cada valor: N1N_1 = enunciado: N1 = 36 · N2N_2 = enunciado: é a incógnita · 1010 = constante: base do logaritmo (log10) · 22 = enunciado: log10(N1) - log10(N2) = 2

36N2=102\frac{36}{N_2} = 10^{2}
36/N2=10036/N2 = \boxed{100}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 10^2 = 100 e usar 10 ou 20. Lembre-se: 10² = 10 × 10 = 100.

Passo 3 — Isolar N2 na equação

A equação 36/N2 = 100 é uma proporção. Para encontrar N2, precisamos isolá-lo. Multiplicamos ambos os lados por N2 e depois dividimos por 100, o que é a manipulação algébrica padrão para resolver esse tipo de equação.

Por que esta fórmula: Não há fórmula nova; é apenas álgebra. O objetivo é deixar N2 sozinho de um lado da igualdade.

N2=36100N_2 = \frac{36}{100}

De onde vem cada valor: 3636 = enunciado: N1 = 36 · 100100 = passo 2: 10^2 = 100

N2=36100=0,36N_2 = \frac{36}{100} = \boxed{0{,}36}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração e calcular 100/36 = 2,77... ou multiplicar 36 por 100, obtendo 3600. A ordem correta é N2 = 36/100.

Resposta: N2 = 0,36 — alternativa D

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