Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 3y + 8z = 9 — alternativa C.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações em que cada incógnita aparece com expoente 1, sem produtos entre elas. A solução é a sequência de números que satisfaz todas as equações ao mesmo tempo. Quando há o mesmo número de equações e incógnitas, o sistema costuma ter uma solução única, que pode ser encontrada por substituição, adição ou determinantes.

A ideia central é que, se você soma ou subtrai equações inteiras (multiplicadas por constantes), obtém uma nova equação que também é verdadeira. Isso permite eliminar incógnitas e, às vezes, obter diretamente uma expressão pedida, sem precisar achar cada incógnita separadamente. A combinação linear das equações é uma ferramenta poderosa para simplificar o problema.

Nesta questão, a banca pede o valor de 3y + 8z, não os valores individuais de x, y e z. Isso sugere que uma combinação estratégica das equações pode levar direto à resposta, evitando o trabalho de resolver o sistema inteiro.

O que a questão dá

• x - y + 5z = 8

• -2x + 3y + 4z = -1

• x + y - z = 2

O que queremos: o valor de 3y + 8z

Passo 1 — Somar a primeira e a terceira equação

Observamos que a primeira equação tem -y e a terceira tem +y. Somando as duas, o termo y se cancela, e ficamos com uma equação só com x e z, que é mais simples. Isso é o primeiro passo para eliminar uma incógnita.

Por que esta fórmula: Somar equações é válido porque, se duas igualdades são verdadeiras, a soma delas também é. Aqui, somamos (I) e (III) para eliminar y.

De onde vem cada valor: $x - y + 5z$ = enunciado: equação (I) · $x + y - z$ = enunciado: equação (III) · $8 + 2$ = enunciado: termos independentes de (I) e (III)

Passo 2 — Isolar x em função de z

A equação obtida no passo 1 relaciona x e z. Para usar a segunda equação, que tem x, y e z, precisamos expressar x em termos de z. Assim, ao substituir na equação (II), sobrarão apenas y e z.

Por que esta fórmula: Isolamos x porque ele aparece na equação (II) com coeficiente -2, e queremos eliminá-lo. A equação x + 2z = 5 é simples de resolver para x.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 1: x + 2z = 5 · $2z$ = passo 1: termo 2z

Passo 3 — Substituir x na segunda equação

Agora que temos x em função de z, substituímos na equação (II). Isso elimina x e nos dá uma equação apenas com y e z, que é exatamente o que precisamos para achar 3y + 8z.

Por que esta fórmula: Substituir é uma técnica básica de resolução de sistemas: trocamos a incógnita pela expressão equivalente, reduzindo o número de incógnitas na equação.

De onde vem cada valor: $-2$ = enunciado: coeficiente de x na equação (II) · $5 - 2z$ = passo 2: x = 5 - 2z · $3y + 4z$ = enunciado: termos de y e z na equação (II) · $-1$ = enunciado: termo independente da equação (II)

Resposta: 3y + 8z = 9 — alternativa C