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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg168033
Banca
FGV
Órgão
CBM RJ
Ano
2025
Cargo
Of AE ( )
A quantidade de anagramas da palavra BOMBEIRO, que começam pela letra R e acabam com a letra M, é
  1. A180.
  2. B360.
  3. C720.
  4. D1260.
  5. E1440.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 180.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 360 anagramas — alternativa B (o gabarito oficial A está incorreto).

A ideia por trás

Um anagrama é uma reorganização das letras de uma palavra. Quando algumas letras têm posição fixa, elas deixam de participar da contagem — o que importa é quantas maneiras diferentes existem de ordenar as letras que sobram nas posições livres.

Se temos n objetos distintos, o número de ordenações é n! (fatorial). Mas se alguns objetos são idênticos, como duas letras O, as trocas entre eles não geram anagramas novos — por isso dividimos pelo fatorial da quantidade de cada repetição: P = n! / (a! · b! · ...). Dobrar a quantidade de repetições reduz o total na mesma proporção.

Aqui fixamos R e M, sobram 6 letras com uma repetição (O). Aplicamos a permutação com repetição para contar as ordenações possíveis.

O que a questão dá

  • palavra: BOMBEIRO

  • letras fixas: R no início, M no fim

O que queremos: a quantidade de anagramas de BOMBEIRO que começam com R e terminam com M

Passo 1 — Fixar R e M nas pontas

O enunciado exige que o anagrama comece com R e termine com M. Isso significa que essas duas posições já estão ocupadas — não há escolha para elas. O que resta é decidir a ordem das outras letras nas 6 posições do meio.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que R e M são fixas e tentar permutar todas as 8 letras — isso contaria anagramas que não começam com R nem terminam com M.

Passo 2 — Contar as letras que sobram

Depois de fixar R e M, precisamos saber quantas letras vão ocupar as 6 posições centrais. Retirando R e M da palavra BOMBEIRO, ficam B, O, E, I, O — são 6 letras, com a letra O aparecendo duas vezes.

6 letras,sendo2O\boxed{6\ \text{letras}, \text{sendo} 2 \text{O}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar as letras errado: BOMBEIRO tem 8 letras, mas com R e M fixas sobram 6, não 7.

Passo 3 — Calcular as permutações das 6 letras

Agora temos 6 letras para ordenar nas 6 posições centrais. Se todas fossem distintas, seriam 6! = 720 maneiras. Mas como a letra O aparece duas vezes, as trocas entre essas duas O não criam anagramas diferentes — por isso dividimos por 2!.

Por que esta fórmula: A fórmula de permutação com repetição é P = n! / (a! · b! · ...), onde n é o total de elementos e a, b, ... são as quantidades de cada elemento repetido. Aqui n = 6 e a = 2 (para o O).

P=6!2!P = \frac{6!}{2!}

De onde vem cada valor: 6!6! = passo 2: 6 letras restantes · 2!2! = passo 2: letra O repetida 2 vezes

P=7202=360P = \frac{720}{2} = \boxed{360}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a repetição do O e calcular 6! = 720, contando anagramas duplicados.

Resposta: 360 anagramas — alternativa B (o gabarito oficial A está incorreto)

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