Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — FGV 2025

Trigonometria: Relação Fundamental e o Sinal do Cosseno

Gabarito: letra B. Pela relação fundamental da trigonometria, $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2 = \frac{49}{625}$, logo $\cos(\alpha) = \pm \frac{7}{25}$. Como o ângulo está no segundo quadrante ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), o cosseno é negativo, resultando em $-\frac{7}{25}$.

A relação fundamental da trigonometria é a identidade $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, válida para qualquer ângulo real. Ela é consequência direta do Teorema de Pitágoras aplicado ao círculo trigonométrico de raio unitário: no ciclo, o seno é a coordenada $y$ e o cosseno é a coordenada $x$ de um ponto sobre a circunferência, e a distância desse ponto à origem é sempre 1, o que gera a equação $x^2 + y^2 = 1$. Essa identidade permite calcular o módulo de uma razão trigonométrica conhecendo a outra, mas não determina o sinal — para isso, é preciso analisar o quadrante.

No círculo trigonométrico, o sinal do cosseno é o sinal da coordenada $x$ do ponto correspondente ao ângulo. No segundo quadrante, que compreende ângulos entre $\frac{\pi}{2}$ (90°) e $\pi$ (180°), a coordenada $x$ é negativa, enquanto a coordenada $y$ (seno) é positiva. Portanto, para qualquer ângulo nesse intervalo, o seno é positivo e o cosseno é negativo. Essa é a informação decisiva para escolher entre as duas raízes da equação.

Vamos aplicar ao caso concreto: com $\sin(\alpha) = \frac{24}{25}$, substituímos na relação fundamental:

Extraindo a raiz quadrada, obtemos $|\cos(\alpha)| = \frac{7}{25}$, pois $7^2 = 49$ e $25^2 = 625$. As duas possibilidades são $\cos(\alpha) = \frac{7}{25}$ ou $\cos(\alpha) = -\frac{7}{25}$. Como o ângulo está no segundo quadrante, o cosseno deve ser negativo, então $\cos(\alpha) = -\frac{7}{25}$.

A pegadinha clássica desta questão é dupla: primeiro, o candidato pode esquecer de considerar o sinal negativo, marcando $\frac{7}{25}$ (alternativa D); segundo, pode confundir o cosseno com a razão inversa (secante), que seria $\frac{25}{7}$, ou até inverter a fração, gerando $\frac{25}{24}$ ou $-\frac{25}{24}$ (alternativas A e E). A chave é sempre verificar o quadrante para determinar o sinal e lembrar que o cosseno é uma razão entre cateto adjacente e hipotenusa, nunca maior que 1 em módulo.

Guarde o par relação fundamental × quadrante: a relação dá o módulo, o quadrante dá o sinal. É exatamente essa combinação que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $-\frac{25}{24}$, que é o inverso do seno com sinal trocado (cossecante negativa). O erro é duplo: inverte a fração (o cosseno é $\frac{7}{25}$, não $\frac{25}{7}$) e usa o valor do seno em vez do cosseno. Além disso, o módulo do cosseno nunca pode ser maior que 1, pois é uma razão entre cateto e hipotenusa — $\frac{25}{24} > 1$ é impossível para qualquer ângulo real.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É exatamente o valor calculado: pela relação fundamental, $\cos^2(\alpha) = \frac{49}{625}$, então $|\cos(\alpha)| = \frac{7}{25}$. Como $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (segundo quadrante), o cosseno é negativo, resultando em $-\frac{7}{25}$. A alternativa espelha perfeitamente os dois passos: o módulo vindo da relação fundamental e o sinal vindo da análise do quadrante.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $-\frac{1}{25}$, que não corresponde a nenhum cálculo válido. O erro provável é um deslize na subtração: $1 - \frac{576}{625}$ não é $\frac{1}{625}$, pois $\frac{576}{625}$ é muito próximo de 1, mas a diferença é $\frac{49}{625}$, não $\frac{1}{625}$. O candidato pode ter simplificado incorretamente ou confundido os números.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{7}{25}$, que é o módulo correto do cosseno, mas com o sinal errado. O erro está em ignorar o quadrante: como $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, o ângulo está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo. O valor positivo seria correto se o ângulo estivesse no primeiro ou quarto quadrante.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{25}{24}$, que é o inverso do seno (cossecante) com sinal positivo. O erro é inverter a fração e usar o seno em vez do cosseno. Além disso, $\frac{25}{24} > 1$, o que é impossível para o cosseno de qualquer ângulo real, pois a imagem da função cosseno é o intervalo $[-1, 1]$.

Gabarito: letra B