Considere a função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, algebricamente definida por f(x) = ||x| - 1|,cujo gráfico é apresentado a seguir.
Para qual valor de K a equação f(x)=K possui um total de 3 raízes?
GabaritoB — 1.
Gabarito: letra B — a conta chega a K = 1 (alternativa B).
Uma função modular é aquela que usa o módulo (valor absoluto), que transforma qualquer número negativo em positivo. O gráfico de uma função modular tem 'dobras' nos pontos onde a expressão dentro do módulo muda de sinal. Quando há módulo dentro de módulo, como em ||x| - 1|, o gráfico ganha mais dobras, formando um formato de 'W'.
A equação f(x) = K pergunta: para quais valores de x a função vale K? No gráfico, isso corresponde a quantas vezes a reta horizontal y = K cruza o gráfico. Cada cruzamento é uma raiz. Se a reta passa por um pico ou vale, ela pode tocar em apenas um ponto, reduzindo o número de raízes. A função ||x| - 1| tem um vale em (0,1) e dois picos em (-2,1) e (2,1), então a reta y = 1 toca exatamente nesses três pontos.
Esta questão pede para encontrar o valor de K que faz a reta horizontal tocar o gráfico em exatamente 3 pontos. Isso acontece quando a reta passa pelo ponto de máximo local do 'W', que é o vale central.
função f(x) = ||x| - 1|
gráfico da função apresentado
equação f(x) = K
O que queremos: o valor de K para o qual a equação f(x) = K tem exatamente 3 raízes
Para saber quantas raízes a equação tem para cada K, precisamos visualizar o gráfico da função. A função é ||x| - 1|, que tem um formato de 'W': dois vales em (-1,0) e (1,0), e um pico central em (0,1).
Achar que o gráfico é um 'V' simples, esquecendo do módulo externo que reflete a parte negativa.
A quantidade de raízes muda conforme o valor de K. Precisamos ver como a reta horizontal y = K cruza o gráfico para diferentes K.
Não considerar que para K entre 0 e 1 a reta corta em 4 pontos.
Observando o gráfico, a reta y = 1 toca o pico central e também cruza os dois ramos laterais, totalizando 3 pontos de interseção. Para outros valores, o número de raízes é diferente.
Confundir o pico central com um vale e achar que K = 0 dá 3 raízes.
Resposta: K = 1 (alternativa B)
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