Questão de Algoritmos e Estrutura de Dados — Algoritmos — IV - UFG 2024

PCA: Autovalores Iguais em Dados Bidimensionais

Gabarito: letra C. Quando o PCA produz dois autovalores de mesmo valor em um conjunto bidimensional, isso indica que as dimensões originais (ou as componentes principais) são igualmente importantes, pois a variância total se distribui igualmente entre elas. O resultado é considerado ruim, pois a técnica não consegue concentrar a maior parte da informação em uma única componente; qualquer tentativa de reduzir para uma dimensão descarta metade da variância. A banca considera que, nesse cenário, perde-se 100% da informação no sentido de que a redução de dimensionalidade não é eficaz – não há componente dominante para reter a maior parte dos dados.

O PCA é uma técnica de redução de dimensionalidade linear que projeta os dados em direções de máxima variância. Os autovalores da matriz de covariância representam a variância explicada por cada componente. Se dois autovalores são iguais, a matriz de covariância é isotrópica (proporcional à identidade). Isso significa que qualquer direção tem a mesma variância, e as componentes principais são arbitrárias. Nesse caso, não é possível reduzir a dimensionalidade sem perder uma parcela significativa da variância – exatamente metade, se descartarmos uma componente. A banca interpreta esse resultado como perda total da capacidade de concentrar a informação, daí a expressão “perdeu-se 100% da informação”.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que as dimensões não são igualmente importantes e que o PCA produziu um excelente resultado. Isso é falso: autovalores iguais indicam igual importância, e o PCA é ruim justamente por não conseguir destacar uma direção dominante.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Embora reconheça a igual importância e o resultado ruim, afirma que “as dimensões possuem 50% da informação”. Isso é tecnicamente correto, mas a banca considera que a redação da alternativa C é a esperada (o gabarito oficial é C). Portanto, B está incorreta segundo o gabarito.

Alternativa C — ✅ Correta (⟵ GABARITO)

Indica que as dimensões são igualmente importantes e que o resultado é ruim, com a perda de 100% da informação. Essa perda deve ser entendida como a incapacidade do PCA de reduzir a dimensionalidade preservando a maior parte da variância – ou seja, a técnica falha em seu objetivo principal.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que as dimensões não são igualmente importantes e que o PCA foi excelente, com 50% da informação. Inverte a interpretação: dimensões são igualmente importantes, e o resultado é ruim.

Gabarito: letra C.