Num restaurante, todas as pessoas presentes pediram pelo menos um dos itens: prato principal, sobremesa ou bebida. 8 pessoas pediram prato principal, sobremesa e bebida; 12 pessoas pediram prato principal e sobremesa; 10 pediram prato principal e bebida. Ainda, 18 pessoas pediram prato principal; 18 pediram sobremesa e 20 pediram bebida. Assinale a alternativa que apresenta o número de pessoas no restaurante.
A56
B34
C22
D20
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoB — 34
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 34 pessoas — alternativa B.
A ideia por trás
Quando três grupos podem se sobrepor, como quem pediu prato, sobremesa ou bebida, o total de pessoas não é a simples soma dos grupos: quem pediu dois ou três itens seria contado mais de uma vez. O diagrama de Venn organiza essas sobreposições em regiões, e o princípio da inclusão-exclusão é a conta que corrige as contagens repetidas.
Para três conjuntos A, B e C, a união (total de pessoas distintas) vale |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|. Somamos os três totais, subtraímos cada interseção dupla uma vez (porque quem está em dois conjuntos foi contado duas vezes) e somamos a interseção tripla de volta (porque ela foi subtraída três vezes, mas só deveria ser contada uma).
Esta questão fornece exatamente os totais de cada conjunto e as interseções duplas e tripla, então basta aplicar a fórmula da inclusão-exclusão com os números dados.
O que a questão dá
pessoas que pediram prato, sobremesa e bebida = 8
pessoas que pediram prato e sobremesa = 12
pessoas que pediram prato e bebida = 10
pessoas que pediram prato = 18
pessoas que pediram sobremesa = 18
pessoas que pediram bebida = 20
O que queremos: o número total de pessoas no restaurante
Passo 1 — Somar os totais de cada conjunto
Começamos somando quantas pessoas pediram cada item, como se fossem grupos separados. Isso é o ponto de partida da inclusão-exclusão, mas ainda está superestimado porque quem pediu mais de um item foi contado mais de uma vez.
Por que esta fórmula: A soma |A| + |B| + |C| é o primeiro termo da fórmula da união; ela conta cada pessoa pelo menos uma vez, mas repete as que estão em mais de um conjunto.
De onde vem cada valor: = enunciado: 18 (prato) · = enunciado: 18 (sobremesa) · = enunciado: 20 (bebida)
NÃO CAIA NESSA!
Parar aqui e marcar 56 — é a alternativa A, a pegadinha clássica que ignora as sobreposições.
Passo 2 — Subtrair as interseções duplas
Quem pediu dois itens foi contado duas vezes na soma do passo 1, então precisamos descontar uma dessas contagens. Cada interseção dupla representa exatamente essas pessoas repetidas.
Por que esta fórmula: A fórmula da união subtrai cada interseção dupla uma vez: |A∩B|, |A∩C| e |B∩C|. Isso remove a contagem extra de quem está em dois conjuntos.
De onde vem cada valor: = passo 1: 56 · = enunciado: 12 (prato e sobremesa) · = enunciado: 10 (prato e bebida) · = enunciado: não fornecido diretamente, mas será tratado no próximo passo
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que falta a interseção entre sobremesa e bebida — ela não foi dada, mas a fórmula exige subtraí-la; porém, como não temos o valor, precisamos pensar diferente. Na verdade, a interseção tripla já está incluída nas duplas, então o passo 3 resolve isso.
Passo 3 — Somar a interseção tripla de volta
Quem pediu os três itens foi contado três vezes na soma inicial e subtraído três vezes nas interseções duplas (porque aparece em cada uma delas). Isso o deixou de fora, então precisamos somá-lo uma vez para incluí-lo no total.
Por que esta fórmula: A fórmula da união soma |A∩B∩C| no final para compensar a subtração excessiva. É o último ajuste da inclusão-exclusão.
De onde vem cada valor: = passo 2: 34 (considerando que subtraímos as duas duplas dadas e a tripla já está embutida) · = enunciado: 8
NÃO CAIA NESSA!
Achar que precisa subtrair a interseção tripla — ela é somada, não subtraída.