Um tratamento experimental consiste em 5 etapas, que necessariamente devem ser cumpridas, sem, porém, que haja uma ordem preestabelecida. Assinale a alternativa que apresenta o número de possibilidades distintas de se passar pelas cinco etapas.
A5
B20
C60
D120
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GabaritoD — 120
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 120 possibilidades — alternativa D.
A ideia por trás
Permutação simples é o número de maneiras de colocar em ordem todos os elementos de um conjunto, quando cada elemento é usado uma única vez e a ordem importa. Por exemplo, com as letras A, B e C, as sequências ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA são todas diferentes — são 6 permutações. O fatorial, representado por n!, é o produto de todos os inteiros de 1 até n, e é a ferramenta que conta essas ordenações.
A fórmula é P_n = n!, que vem do princípio multiplicativo: para a primeira posição há n escolhas, para a segunda n−1, e assim por diante, até a última com 1 escolha. O resultado cresce muito rápido: 5! = 120, mas 6! = 720. Isso vale quando todos os elementos são distintos e todos são usados — exatamente o caso de ordenar etapas diferentes.
A questão pede o número de ordens possíveis para as 5 etapas, todas distintas e todas obrigatórias. Isso é a definição de permutação simples, então basta calcular 5!.
O que a questão dá
5 etapas distintas
todas devem ser cumpridas
sem ordem preestabelecida
O que queremos: o número de sequências diferentes em que as 5 etapas podem ser realizadas
Passo 1 — Reconhecer que é uma permutação
O enunciado diz que as 5 etapas devem ser cumpridas, mas sem ordem fixa. Isso significa que qualquer sequência das 5 é válida, e cada sequência diferente é uma possibilidade. Como todas as etapas são distintas e todas entram na ordem, o problema é de permutação simples — não de combinação, onde a ordem não importaria.
Por que esta fórmula: Permutação simples é exatamente a ferramenta para contar ordenações de todos os elementos de um conjunto. A fórmula P_n = n! resume o princípio multiplicativo: 5 opções para o primeiro lugar, 4 para o segundo, e assim por diante.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5 etapas
NÃO CAIA NESSA!
Confundir com combinação e achar que só há 1 possibilidade, pois 'escolher 5 de 5' sem ordem dá 1 — mas aqui a ordem importa.
Passo 2 — Calcular o fatorial de 5
Agora que sabemos que é permutação, precisamos do valor numérico de 5!. O fatorial é o produto de todos os inteiros de 1 até 5, e é a conta que transforma a fórmula em resposta.
Por que esta fórmula: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1, pela definição de fatorial. Cada multiplicação corresponde a uma posição na sequência: 5 escolhas para a primeira etapa, 4 para a segunda, etc.
De onde vem cada valor: = definição de fatorial
NÃO CAIA NESSA!
Parar em 5 × 4 = 20 e esquecer de multiplicar pelos demais fatores — isso daria a alternativa B.