Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FEPESE 2019

Média Ponderada e Nota Mínima

Gabarito: letra D. A nota mínima na terceira prova é 5,0, que está no intervalo "maior que 4,75 e menor que 5,25". Isso porque a média ponderada mínima de 7 exige que a soma das notas multiplicadas pelos pesos seja pelo menos 7 vezes a soma dos pesos (2+3+3=8), ou seja, pelo menos 56. Com as notas 6 (peso 2) e 9,5 (peso 3), já temos 12 + 28,5 = 40,5; falta 15,5, que dividido pelo peso 3 dá 5,166... — mas atenção: a questão pede a nota que garante a média mínima, e o valor exato que atinge 7 é 5,166..., que é maior que 5,25? Não: 5,166... é menor que 5,25, então a alternativa D (maior que 4,75 e menor que 5,25) é a correta. Vamos refazer com calma.

A média ponderada é calculada pela fórmula: $\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot p_i)}{\sum p_i}$. Aqui, os pesos são 2, 3 e 3, totalizando 8. Para obter média 7, precisamos que a soma ponderada seja $7 \times 8 = 56$. As notas já obtidas contribuem com $6 \times 2 = 12$ e $9,5 \times 3 = 28,5$, somando 40,5. Portanto, a terceira nota $x$ deve satisfazer $40,5 + 3x \geq 56$, o que dá $3x \geq 15,5$, logo $x \geq 5,166...$. Como a questão pede a nota mínima para garantir a média mínima, e o valor exato é 5,166..., que é maior que 5,25? Não, 5,166... é menor que 5,25. Então a alternativa D (maior que 4,75 e menor que 5,25) é a correta. Mas espere: 5,166... é maior que 5,25? Não, é menor. Então a alternativa D está correta. Vamos confirmar: 5,166... está entre 4,75 e 5,25, sim. Portanto, a resposta é a letra D.

A pegadinha clássica é esquecer de multiplicar a nota pelo peso ou usar a média aritmética simples. Outra armadilha é interpretar "nota mínima" como o valor exato que zera a diferença, mas a questão pede o intervalo que contém esse valor. O valor exato é 5,166..., que cai no intervalo da letra D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a nota deve ser maior que 6,25. Isso é um valor muito alto: se a terceira nota fosse 6,25, a média ponderada seria $\frac{12 + 28,5 + 18,75}{8} = \frac{59,25}{8} = 7,406$, bem acima do necessário. O erro é superestimar a nota mínima, provavelmente por não considerar corretamente os pesos ou por calcular a média simples.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a nota deve ser maior que 5,75 e menor que 6,25. O valor 5,75 já é maior que o necessário (5,166...), e o intervalo não contém o valor correto. O candidato pode ter errado ao calcular a soma ponderada, por exemplo, esquecendo de multiplicar a nota 6 pelo peso 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a nota deve ser maior que 5,25 e menor que 5,75. O valor 5,166... é menor que 5,25, então não está nesse intervalo. O erro pode vir de um arredondamento incorreto ou de considerar a média simples (que daria 5,5).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor exato é $x = \frac{15,5}{3} = 5,166...$, que é maior que 4,75 e menor que 5,25. Portanto, a alternativa D está correta. A conta: $\frac{6 \times 2 + 9,5 \times 3 + x \times 3}{8} \geq 7 \Rightarrow 12 + 28,5 + 3x \geq 56 \Rightarrow 3x \geq 15,5 \Rightarrow x \geq 5,166...$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a nota deve ser menor que 4,75. Isso é insuficiente: com 4,75, a média seria $\frac{12 + 28,5 + 14,25}{8} = \frac{54,75}{8} = 6,84$, abaixo de 7. O erro é subestimar a nota necessária, talvez por não considerar o peso 3 da terceira prova.

Gabarito: letra D.