Para jogar em uma loteria uma pessoa deve listar 4 números. Para não esquecer sua aposta João escreve em lista os números que apostou em uma folha de papel.Sabe-se que o produto de todos os números é 1312, o produto dos três últimos números da lista é 328, e o produto do segundo e terceiro números da lista é 82.e a soma do segundo e terceiro números da lista é 43, então a soma de todos os números na lista de João é igual a:
A58
B55
C52
D51
E50
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GabaritoD — 51
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 51 (alternativa D).
A ideia por trás
Este problema envolve um sistema de equações com números inteiros. Temos várias relações entre os números desconhecidos: produtos e somas. A ideia é usar essas relações para isolar cada número, começando pelas divisões que nos dão diretamente um valor. Quando temos dois números com produto e soma conhecidos, podemos encontrá-los fatorando o produto e testando qual par de fatores soma o valor dado. Depois, com mais uma relação, encontramos o último número e somamos tudo.
O que a questão dá
produto dos 4 números = 1312
produto dos 3 últimos = 328
produto do 2º e 3º = 82
soma do 2º e 3º = 43
O que queremos: a soma de todos os números da lista
Passo 1 — Encontrar o primeiro número
O produto total é o produto de todos os quatro números, e o produto dos três últimos é dado. Dividindo o total pelos três últimos, obtemos o primeiro número, pois ele é o fator que falta.
Por que esta fórmula: Se a·b·c·d = 1312 e b·c·d = 328, então a = (a·b·c·d) / (b·c·d).
De onde vem cada valor: = enunciado: produto de todos os números · = enunciado: produto dos três últimos
NÃO CAIA NESSA!
Errar a divisão, por exemplo, pensar que 1312/328 = 3.
Passo 2 — Listar os pares de divisores de 82
Sabemos que b·c = 82 e b+c = 43. Para achar b e c, precisamos encontrar dois números cujo produto é 82 e cuja soma é 43. Os divisores de 82 são poucos, então listamos os pares possíveis.
Por que esta fórmula: Fatorar 82 em pares de inteiros positivos: (1,82) e (2,41).
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o par (2,41) e achar que não há solução.
Passo 3 — Escolher o par que soma 43
Dos pares listados, precisamos daquele cuja soma é 43. Isso nos dá os valores de b e c.
Por que esta fórmula: Testamos as somas: 1+82=83, 2+41=43. Apenas (2,41) satisfaz.
b=2, c=41 (ou vice-versa)
NÃO CAIA NESSA!
Escolher (1,82) por engano, ignorando a condição da soma.
Passo 4 — Calcular o último número
Com b e c conhecidos, usamos o produto dos três últimos para achar d.
Por que esta fórmula: Temos b·c·d = 328, e b·c = 82, então d = 328 / (b·c).
De onde vem cada valor: = enunciado: produto dos três últimos · = passo 3: b·c = 2·41
NÃO CAIA NESSA!
Usar 328/41 = 8, esquecendo de multiplicar b e c.
Passo 5 — Somar todos os números
Agora temos os quatro números: a=4, b=2, c=41, d=4. A soma é o que a questão pede.
Por que esta fórmula: Soma = a + b + c + d.
De onde vem cada valor: = passo 1: 4 · = passo 3: 2 · = passo 3: 41 · = passo 4: 4