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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — PUC-PR 2019

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
qq542579
Banca
PUC-PR
Órgão
Prefeitura de Campo Grande - MS
Ano
2019
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal da Receita Municipal
A tabela seguinte mostra a opção de um Negócio na qual o valor no instante zero significa o desembolso, e os demais, as receitas esperadas. Por inspeção visual, verifica-se que para uma taxa de juro igual a zero, o retorno desse investimento é positivo, e para uma taxa de juro de 50% ao ano o retorno é negativo.(Considere √69 = 8,307).Valores em reais Data de vencimento em anos-10.000 06.000 16.000 2Assim, assinale a opção que representa a taxa interna de retorno anual dessa proposta de Negócio.
  1. A8,33%
  2. B13,07%.
  3. C15,67%.
  4. D16,61%.
  5. E16,66%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 13,07%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Taxa Interna de Retorno (TIR)

Gabarito: B (13,07% ao ano). A TIR é a taxa que iguala o valor presente das entradas ao valor presente das saídas. Para o fluxo de caixa apresentado, resolve-se a equação do 2º grau e obtém-se i = 13,07% a.a.

Resolução passo a passo

O fluxo de caixa é:

  • Investimento inicial: R$ 10.000,00 (saída) no momento 0

  • Receitas: R$ 6.000,00 nos momentos 1 e 2

A equação do VPL = 0:

−10.000+6.0001+i+6.000(1+i)2=0-10.000 + \frac{6.000}{1+i} + \frac{6.000}{(1+i)^2} = 0

Seja x=1+ix = 1+i. Multiplicando por x2x^2:

−10.000x2+6.000x+6.000=0-10.000 x^2 + 6.000 x + 6.000 = 0

Dividindo por −1.000-1.000:

10x2−6x−6=010x^2 - 6x - 6 = 0

Simplificando por 2:

5x2−3x−3=05x^2 - 3x - 3 = 0

Aplicando Bhaskara:

x=3±9+602⋅5=3±6910x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 60}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{10}

Como 69≈8,307\sqrt{69} \approx 8,307 (dado no enunciado):

x=3+8,30710=11,30710=1,1307x = \frac{3 + 8,307}{10} = \frac{11,307}{10} = 1,1307

(Despreza-se a raiz negativa: x=3−8,30710=−0,5307x = \frac{3 - 8,307}{10} = -0,5307)

Portanto:

i=x−1=1,1307−1=0,1307=13,07% ao anoi = x - 1 = 1,1307 - 1 = 0,1307 = 13,07\% \text{ ao ano}

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

8,33% é um valor próximo, mas não corresponde ao cálculo correto. Possivelmente obtido por erro na manipulação da equação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

13,07% ao ano é exatamente o resultado encontrado pela resolução algébrica, utilizando a raiz quadrada de 69 fornecida.

Alternativa C — ❌ Incorreta

15,67% resultaria de um erro na resolução ou arredondamento indevido.

Alternativa D — ❌ Incorreta

16,61% não é compatível com a equação correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

16,66% é muito próximo de 1/6, mas não é a TIR do fluxo.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de TIR com dois fluxos de caixa iguais após o investimento, a equação sempre recai em uma equação do 2º grau. Resolva com cuidado e confira se o valor encontrado é positivo e menor que os retornos observados (a questão informa que a 50% o VPL é negativo, o que já indica que a TIR está entre 0% e 50%).

Gabarito: B (13,07% ao ano).

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