Matemática Financeira · PUC-PR · 2019 | Questão sqc-qq542585

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira

Código: qq542585
Banca: PUC-PR
Órgão: Prefeitura de Campo Grande - MS
Ano: 2019
Nível: Superior

Cargo: Auditor Fiscal da Receita Municipal

“Nos mercados financeiros, brasileiro e mundial, mesmo entre os professores, técnicos e executivos, reina muita confusão quanto ao conceito e à classificação das taxas de juros, principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real” (Vieira Sobrinho, 2018, p. 161). Apesar da confusão citada, autores consagrados da Matemática Financeira, entre eles o próprio VIEIRA SOBRINHO e também MATHIAS se alinham sobre o conceito de taxa nominal e efetiva. Assim, dentre as alternativas seguintes, assinale a única opção CORRETA.

ANo regime de capitalização composta, dada uma taxa nominal, a taxa efetiva cresce exponencialmente em função do número de capitalizações, tendendo a infinito.
BNo regime de capitalização composta, dada uma taxa nominal anual com capitalizações semestrais, considera-se que o número de capitalizações é seis.
CNo regime de capitalização simples a taxa nominal será sempre igual a taxa efetiva.
DNo regime de capitalização composta, dada uma taxa nominal anual maior que zero, a taxa efetiva anual será maior, caso o número de capitalizações seja superior a um.
ENo regime de capitalização composta, dada uma taxa nominal anual, a taxa efetiva permite no máximo 365 capitalizações.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — No regime de capitalização composta, dada uma taxa nominal anual maior que zero, a taxa efetiva anual será maior, caso o número de capitalizações seja superior a um.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Taxas Nominal e Efetiva em Regimes de Capitalização

Gabarito: letra D. No regime de capitalização composta, a taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal anual quando o número de capitalizações por ano é superior a um. Isso decorre da fórmula $(1 + i_{nom}/k)^k - 1$ , que é crescente em $k$ . A questão exige discernimento sobre os efeitos da capitalização sobre a taxa efetiva.

A banca cobra a distinção entre os conceitos de taxa nominal (declarada) e taxa efetiva (realmente paga/recebida) nos regimes de capitalização simples e composta, além do impacto do número de capitalizações.

Caso	Premissa	k (capitalizações/ano)	Taxa efetiva anual (fórmula)	Resultado
D (correta)	i_nom > 0, k > 1	2 (semestral)	(1 + i_nom/2)^2 - 1	> i_nom
D (correta)	i_nom > 0, k > 1	12 (mensal)	(1 + i_nom/12)^12 - 1	> i_nom
A (incorreta)	k → ∞	∞	e^(i_nom) - 1	finito (não infinito)
B (incorreta)	capitalização semestral	2 (não 6)	—	inviável
C (incorreta)	juros simples, períodos diferentes	—	—	taxa efetiva ≠ nominal
E (incorreta)	k máximo	365 (não é limite)	—	inviável (pode ser maior)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a taxa efetiva tende a infinito com o aumento do número de capitalizações. Na verdade, quando $k \to \infty$ (capitalização contínua), a taxa efetiva tende a $e^{i_{nom}} - 1$ , que é um valor finito. Portanto, não tende a infinito.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Considera que capitalizações semestrais correspondem a seis períodos por ano. Semestral significa duas vezes ao ano (a cada 6 meses), e não seis. O número correto de capitalizações semestrais é 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmação "no regime de capitalização simples a taxa nominal será sempre igual a taxa efetiva" é falsa quando não se especifica o período de referência. Em juros simples, a taxa efetiva para um período igual ao da taxa nominal é igual, mas para períodos diferentes (ex.: efetiva mensal a partir de nominal anual) a taxa efetiva proporcional é diferente (ex.: 1% a.m. ≠ 12% a.a.). O termo "sempre" torna a assertiva incorreta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

No regime composto, dada uma taxa nominal anual $i_{nom} > 0$ , a taxa efetiva anual é $(1 + i_{nom}/k)^k - 1$ , que é maior que $i_{nom}$ para $k > 1$ . Exemplo: $i_{nom}=12\%$ a.a. com capitalização mensal ( $k=12$ ) gera efetiva de $(1+0,12/12)^{12}-1 \approx 12,68\%$ . Portanto, a afirmativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Não há limite máximo de 365 capitalizações para a taxa efetiva. É possível capitalizar diariamente (365), horariamente, ou em intervalos infinitésimos (capitalização contínua). O limite é teórico e não numérico.

PEGA ESSA DICA!

A fórmula chave é $i_{ef} = (1 + i_{nom}/k)^k - 1$ . Lembre-se: (a) em juros simples, a efetiva para o mesmo período é igual à nominal; (b) em juros compostos, a efetiva supera a nominal quando $k>1$ ; (c) o limite com $k \to \infty$ é $e^{i_{nom}} - 1$ , não infinito.

Gabarito: letra D

Link permanente: /questoes/qq542585