Matemática Financeira · PUC-PR · 2019 | Questão sqc-qq542586

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira

Código: qq542586
Banca: PUC-PR
Órgão: Prefeitura de Campo Grande - MS
Ano: 2019
Nível: Superior

Cargo: Auditor Fiscal da Receita Municipal

Um título de valor nominal N, a vencer no instante n, foi colocado para desconto num banco operando com uma taxa de desconto i, na modalidade Desconto Comercial, capitalização simples. Suponha que o mesmo título, nas mesmas condições especificadas, tenha sido descontado na modalidade Desconto Racional. Para o caso específico, assinale dentre as alternativas seguintes a única CORRETA.

ANo Desconto Racional, o valor Descontado (Valor Atual) é menor.
BNo Desconto Comercial, a taxa de desconto é igual a taxa efetiva.
CO Desconto Comercial é mais vantajoso para o proprietário do título.
DNo Desconto Racional, o valor do Desconto é menor.
EPara responder às questões anteriores seria necessário conhecer o Valor Nominal do título.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — No Desconto Racional, o valor do Desconto é menor.

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Desconto Comercial vs. Racional Simples

Gabarito: letra D. No desconto racional simples, o valor do desconto é menor do que no desconto comercial, para o mesmo valor nominal, mesma taxa e mesmo prazo. Isso decorre das fórmulas: no comercial, $D_C = N \cdot i \cdot t$ ; no racional, $D_R = \dfrac{N \cdot i \cdot t}{1 + i \cdot t}$ , sendo $D_R < D_C$ . A comparação independe do valor nominal $N$ .

A questão cobra a relação entre os dois regimes de desconto simples sob a mesma taxa nominal $i$ . Como os cálculos mostram, o desconto comercial (por fora) gera um desconto maior, portanto um valor atual menor, sendo menos vantajoso para o proprietário do título. O desconto racional (por dentro) é mais oneroso para o banco e mais benéfico para o cliente.

Caso	Premissa	Desconto Comercial (D_C)	Desconto Racional (D_R)	Comparação	Resultado
1	N, i, t > 0	N·i·t	(N·i·t)/(1+i·t)	D_R < D_C	D_R é menor
2	N, i, t > 0	Valor atual A_C = N(1–i·t)	Valor atual A_R = N/(1+i·t)	A_R > A_C	A_R é maior
3	N, i, t > 0	Taxa efetiva i_e = i/(1–i·t)	Taxa efetiva = i	i_e > i	Taxa comercial ≠ taxa nominal

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que no desconto racional o valor atual é menor. Na verdade, o valor atual no racional é maior que no comercial, pois $A_R = \dfrac{N}{1+it}$ e $A_C = N(1-it)$ . Para $i>0$ , $A_R > A_C$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

A taxa de desconto comercial não é igual à taxa efetiva. A taxa efetiva $i_e$ é a taxa de juros que, aplicada ao valor atual, produz o valor nominal. No desconto comercial simples, $i_e = \dfrac{i}{1-it} > i$ . Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O desconto comercial é menos vantajoso para o proprietário, pois ele recebe um valor atual menor ( $A_C < A_R$ ). O banco é quem se beneficia com o desconto comercial.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta. Como demonstrado, $D_R = \dfrac{N \cdot i \cdot t}{1 + i \cdot t}$ e $D_C = N \cdot i \cdot t$ . Como $1+it > 1$ , $D_R < D_C$ . O valor do desconto racional é sempre menor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Não é necessário conhecer $N$ para a comparação, pois as relações independem do valor nominal. As desigualdades são válidas para qualquer $N>0$ .

PEGA ESSA DICA!

Grave a relação fundamental para o regime simples: $D_C = D_R \cdot (1 + i \cdot t)$ . Isso mostra que $D_C > D_R$ . Além disso, lembre que o valor atual no racional é maior, e a taxa efetiva no comercial é maior que a taxa nominal.

Gabarito: letra D

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