Estatística · FEPESE · 2022 | Questão sqc-qq722367

Teorema de Bayes aplicado a questões de múltipla escolha

Gabarito: letra C (76,92%). A probabilidade de o candidato realmente saber a resposta, dado que acertou, é calculada pelo Teorema de Bayes: $P(S|A) = \frac{P(A|S) \cdot P(S)}{P(A|S) \cdot P(S) + P(A|\bar{S}) \cdot P(\bar{S})}$ , com $P(S)=0{,}4$ , $P(A|S)=1$ e $P(A|\bar{S})=0{,}2$ , resultando em $\frac{0{,}4}{0{,}4+0{,}12}=0{,}7692$ .

O problema envolve probabilidade condicional e o Teorema de Bayes, que permite "inverter" a condição: queremos a probabilidade de o candidato saber a resposta (evento $S$ ) dado que ele acertou (evento $A$ ). A confusão clássica é calcular $P(A|S)$ (que é 1) em vez de $P(S|A)$ — a banca explora exatamente essa inversão.

Vamos organizar os dados:

$P(S) = 0{,}4$ (probabilidade de saber a resposta);
$P(\bar{S}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ (probabilidade de não saber);
$P(A|S) = 1$ (se sabe, acerta com certeza);
$P(A|\bar{S}) = \frac{1}{5} = 0{,}2$ (se não sabe, chuta e tem 1 chance em 5 de acertar).

Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de acertar é:

P(A) = P(A|S) \cdot P(S) + P(A|\bar{S}) \cdot P(\bar{S}) = 1 \cdot 0{,}4 + 0{,}2 \cdot 0{,}6 = 0{,}4 + 0{,}12 = 0{,}52.

Agora, aplicando o Teorema de Bayes:

P(S|A) = \frac{P(A|S) \cdot P(S)}{P(A)} = \frac{0{,}4}{0{,}52} = \frac{40}{52} = \frac{10}{13} \approx 0{,}7692 = 76{,}92\%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a ordem da condicional: ela pede $P(S|A)$ (saber, dado que acertou), mas o candidato apressado calcula $P(A|S)$ (acertar, dado que sabe), que é 100%. A diferença é sutil: $P(A|S)$ é a chance de acerto quando se sabe a resposta; $P(S|A)$ é a chance de saber a resposta quando se acertou — e essa última é menor, porque o acerto também pode vir do chute. Fique atento à direção da seta na hora de montar a fórmula!

Evento	Probabilidade	Valor
(S) (saber a resposta)	(P(S))	0,4
$\bar{S}$ (não saber)	$(P(\bar{S}))$	0,6
(A \mid S) (acertar, dado que sabe)	(P(A \mid S))	1
$A \mid \bar{S}$ (acertar por chute)	$(P(A \mid \bar{S}))$	0,2
(A) (acertar, total)	$(P(A) = P(A \mid S) \cdot P(S) + P(A \mid \bar{S}) \cdot P(\bar{S}))$	$(1 \cdot 0{,}4 + 0{,}2 \cdot 0{,}6 = 0{,}52)$
(S \mid A) (saber, dado que acertou)	$(P(S \mid A) = \dfrac{P(A \mid S) \cdot P(S)}{P(A)})$	$(\dfrac{0{,}4}{0{,}52} = \dfrac{10}{13} \approx 0{,}7692)$

Teorema de Bayes: Eventos (S = saber a resposta (40%), A = acertar a questão); Probabilidades (P(A|S) = 1 (se sabe, acerta), P(A|¬S) = 1/5 (chute), P(A) = 0,4 + 0,12 = 0,52); Resultado (P(S|A) = 0,4 / 0,52, = 10/13 ≈ 76,92%)

Alternativa A — ❌ Incorreta

54,38% não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Esse valor não surge de nenhuma operação simples com $0{,}4$ , $0{,}6$ e $0{,}2$ — é um distrator numérico sem fundamento no problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

66,67% é um valor que aparece em outros contextos de Bayes (por exemplo, quando a probabilidade de acerto por chute é $\frac{1}{3}$ ), mas aqui o chute tem probabilidade $\frac{1}{5}$ . Com os dados do enunciado, o resultado correto é $\frac{10}{13} \approx 76{,}92\%$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

76,92% é exatamente $\frac{10}{13}$ , obtido pela aplicação correta do Teorema de Bayes, como demonstrado acima. A conta: $P(S|A) = \frac{0{,}4}{0{,}52} = 0{,}7692$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

81,56% não corresponde a nenhum cálculo com os dados fornecidos. É um valor que poderia surgir de uma interpretação equivocada (por exemplo, considerar que o chute tem probabilidade $\frac{1}{4}$ em vez de $\frac{1}{5}$ ), mas não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

92,24% também não tem base nos dados. Esse valor seria plausível se a probabilidade de saber fosse muito maior (por exemplo, $0{,}8$ ), mas aqui $P(S)=0{,}4$ , então a probabilidade a posteriori não pode ser tão alta.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de Bayes, monte uma tabela com as probabilidades conhecidas e as condicionais. Identifique claramente qual é o evento condicionante e qual é o evento condicionado. Uma dica prática: se a pergunta é "dado que acertou, qual a chance de saber?", a resposta sempre será menor que a probabilidade de saber (40%), porque o acerto pode vir do chute. Isso elimina alternativas altas como D e E de imediato.

Gabarito: letra C