Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FEPESE 2022

Probabilidade condicional e Teorema de Bayes

Gabarito: letra D (78,95%). A questão pede a probabilidade de o contribuinte escolhido estar no Simples Nacional, dado que ele tem receita bruta mensal superior a R$ 3.000 — ou seja, uma probabilidade condicional a posteriori, que se resolve pelo Teorema de Bayes. O cálculo é: $P(SN|R) = \frac{0{,}60 \times 0{,}05}{0{,}60 \times 0{,}05 + 0{,}40 \times 0{,}02} = \frac{0{,}03}{0{,}038} \approx 0{,}7895 = 78{,}95\%$.

O Teorema de Bayes é a ferramenta que atualiza uma probabilidade inicial (a priori) quando surge uma informação nova (a evidência). Aqui, a informação nova é o fato de o contribuinte ter receita superior a R$ 3.000. Antes dessa informação, a chance de um contribuinte qualquer ser do Simples era 60% (probabilidade a priori). Depois de saber que ele tem receita alta, essa chance muda — porque a proporção de contribuintes com receita alta é diferente entre os dois grupos. A banca explora exatamente essa inversão: o candidato desatento pode simplesmente responder 60% (a priori) ou 5% (a taxa dentro do grupo), sem perceber que a pergunta é condicionada à receita alta.

Vamos estruturar os dados:

• $P(SN) = 0{,}60$ (probabilidade de ser Simples Nacional)

• $P(MEI) = 0{,}40$ (probabilidade de ser MEI)

• $P(R|SN) = 0{,}05$ (probabilidade de ter receita > R$ 3.000, dado que é Simples)

• $P(R|MEI) = 0{,}02$ (probabilidade de ter receita > R$ 3.000, dado que é MEI)

Queremos $P(SN|R)$, a probabilidade de ser Simples dado que tem receita alta. Pela fórmula de Bayes:

Substituindo:

Convertendo para porcentagem: $0{,}78947 \times 100 \approx 78{,}95\%$.

O denominador $0{,}038$ é a probabilidade total de um contribuinte ter receita alta, calculada pela lei da probabilidade total: soma das probabilidades de cada grupo ponderadas pela proporção do grupo. É esse denominador que "redistribui" a massa de probabilidade entre os grupos, fazendo a a posteriori diferir da a priori.

Alternativa A — ❌ Incorreta

45,67% não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Esse valor não surge de nenhuma operação simples com as probabilidades fornecidas — é um distrator numérico sem correspondência com o cálculo de Bayes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

55,21% também não corresponde a nenhuma combinação direta. Não é a a priori (60%), nem a taxa condicional (5%), nem o resultado de Bayes (78,95%). É um valor fabricado para confundir.

Alternativa C — ❌ Incorreta

64,33% é outro distrator numérico. Não há operação com os dados do enunciado que produza esse valor. O candidato que erra o denominador (por exemplo, esquecendo de somar a parcela dos MEIs) pode chegar a um valor próximo, mas o cálculo correto é o da letra D.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

78,95% é exatamente o resultado do Teorema de Bayes, como demonstrado acima. A alternativa espelha o cálculo correto: $\frac{0{,}03}{0{,}038} \approx 0{,}7895$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

81,90% é outro valor sem correspondência com os dados. Não é a a priori (60%), nem a taxa condicional (5%), nem o resultado de Bayes (78,95%). É um distrator numérico.

Gabarito: letra D.