Na temporada de 2018, das partidas que um time de futebol disputou, nenhuma terminou empatada, e a razão entre o número de partidas vencidas para o número de partidas perdidas foi de 5 para 3. Se esse time tivesse ganhado 3 das partidas que perdeu, o número de vitórias teria sido o dobro do número de derrotas. O número de partidas disputadas pelo time em 2018 foi
A64.
B72.
C80.
D88.
E96.
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GabaritoB — 72.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 72 partidas (alternativa B).
A ideia por trás
Uma razão compara duas grandezas: se a razão entre vitórias e derrotas é 5 para 3, isso significa que, para cada 3 derrotas, o time tem 5 vitórias. Em problemas assim, é comum representar as quantidades como múltiplos de uma constante: vitórias = 5k e derrotas = 3k, onde k é um número que escala a proporção para o tamanho real. A segunda informação descreve uma situação hipotética: se o time tivesse ganhado 3 das partidas que perdeu, então as vitórias aumentariam em 3 e as derrotas diminuiriam em 3, e nesse novo cenário as vitórias seriam o dobro das derrotas. Isso gera uma equação que permite descobrir o valor de k e, com ele, o total de partidas. Nesta questão, o ponto central é montar corretamente a equação da condição hipotética, lembrando que as 3 partidas saem das derrotas e entram nas vitórias.
O que a questão dá
razão entre vitórias e derrotas = 5 para 3
se ganhasse 3 das partidas perdidas, vitórias = dobro das derrotas
O que queremos: o número total de partidas disputadas (vitórias + derrotas)
Passo 1 — Representar vitórias e derrotas com uma constante
A razão 5 para 3 nos diz que, para cada 3 derrotas, há 5 vitórias. Para transformar essa proporção em números reais, usamos uma constante k: as vitórias são 5 vezes k e as derrotas são 3 vezes k. Assim, qualquer valor de k que respeite a razão serve, e vamos descobrir qual é o k certo usando a outra condição.
Por que esta fórmula: Quando temos uma razão a:b, as quantidades podem ser escritas como a·k e b·k, porque isso garante que a divisão entre elas seja exatamente a razão dada. Aqui, a=5 e b=3.
De onde vem cada valor: = enunciado: razão 5 para 3 entre vitórias e derrotas · = enunciado: razão 5 para 3 entre vitórias e derrotas · = constante de proporcionalidade, a descobrir
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a razão é entre vitórias e derrotas, e não o contrário. Se inverter, as equações ficam erradas.
Passo 2 — Montar a equação da condição hipotética
A segunda informação descreve um cenário 'se': se o time tivesse ganhado 3 das partidas que perdeu. Isso significa que 3 derrotas viram vitórias: as vitórias aumentam em 3 (V+3) e as derrotas diminuem em 3 (D-3). Nesse novo cenário, as vitórias seriam o dobro das derrotas, então V+3 = 2·(D-3). Essa equação é o coração do problema, porque relaciona V e D de outra forma.
Por que esta fórmula: A frase 'o número de vitórias teria sido o dobro do número de derrotas' se traduz matematicamente como 'vitórias = 2 × derrotas'. Mas precisamos usar os valores hipotéticos: V+3 e D-3, porque as 3 partidas mudam de categoria.
De onde vem cada valor: = passo 1: V = 5k · = passo 1: D = 3k · = enunciado: 'ganhado 3 das partidas que perdeu'
NÃO CAIA NESSA!
Montar V+3 = 2D, esquecendo que as derrotas também diminuem. Isso leva a um valor errado de k.
Passo 3 — Resolver a equação para achar k
Agora temos uma equação só com k. Precisamos isolá-lo para descobrir o valor da constante, que nos dará as quantidades reais de vitórias e derrotas. Vamos resolver passo a passo: primeiro distribuímos o 2, depois juntamos os termos com k de um lado e os números do outro.
Por que esta fórmula: É uma equação do 1º grau: para resolvê-la, aplicamos operações inversas. Distribuímos a multiplicação, subtraímos 5k dos dois lados e somamos 6 dos dois lados para isolar k.
De onde vem cada valor: = passo 2: lado esquerdo da equação · = passo 2: lado esquerdo da equação · = passo 2: 2·(3k) = 6k · = passo 2: 2·(-3) = -6
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao mover termos: por exemplo, escrever 5k - 6k = -6 - 3, o que daria -k = -9, mas ainda k=9. O erro mais comum é esquecer de distribuir o 2 corretamente.
Passo 4 — Calcular vitórias e derrotas reais
Com k = 9, podemos voltar às expressões do passo 1 e obter o número real de vitórias e derrotas. Isso é necessário para somar e achar o total de partidas.
Por que esta fórmula: Usamos as mesmas relações de proporção: V = 5k e D = 3k, agora com o valor conhecido de k.
De onde vem cada valor: = passo 1: coeficiente de V · = passo 3: valor de k · = passo 1: coeficiente de D
V = 45, D = 27
NÃO CAIA NESSA!
Confundir os coeficientes: usar V=3k e D=5k, invertendo a razão.
Passo 5 — Somar vitórias e derrotas para o total
O problema pede o número total de partidas disputadas. Como nenhuma partida terminou empatada, o total é simplesmente a soma das vitórias e derrotas. Agora que temos os dois valores, basta somá-los.
Por que esta fórmula: O total de partidas é a soma de todos os resultados possíveis: vitórias + derrotas (empates não existem).
De onde vem cada valor: = passo 4: 45 · = passo 4: 27
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar e marcar apenas o valor de V ou D.