Eraldo, Francisco e Geraldo trabalharam por hora nas empresas J e K, que remuneram com valores fixos por hora trabalhada. Eraldo trabalhou 4 horas na empresa J e 5 horas na empresa K, recebendo ao todo R$ 1.230,00. Francisco trabalhou 8 horas na empresa J e 2 horas na empresa K, recebendo ao todo R$ 1.260,00.Sabendo que Geraldo trabalhou 5 horas em cada uma das empresas, o valor total que ele recebeu é igual a
AR$ 1.310,00.
BR$ 1.350,00.
CR$ 1.370,00.
DR$ 1.380,00.
ER$ 1.390,00.
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GabaritoB — R$ 1.350,00.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 1.350,00 (alternativa B).
A ideia por trás
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que compartilham as mesmas incógnitas. Aqui, as incógnitas são os valores da hora trabalhada em cada empresa (J e K). Cada equação representa uma condição dada no problema: a soma dos ganhos de uma pessoa. Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Neste problema, temos duas incógnitas e duas equações, então é possível encontrar uma solução única. A relação que governa é a equação linear: o total recebido é a soma dos produtos das horas trabalhadas pelo valor da hora em cada empresa. Se uma das variáveis aumenta, o total aumenta proporcionalmente. A condição de validade é que os valores das horas sejam positivos e consistentes com as equações. Nesta questão, precisamos montar o sistema a partir dos dados de Eraldo e Francisco, resolvê-lo para achar os valores das horas e então calcular o total de Geraldo.
O que a questão dá
Eraldo: 4h em J e 5h em K = R$ 1.230,00
Francisco: 8h em J e 2h em K = R$ 1.260,00
Geraldo: 5h em J e 5h em K
O que queremos: o valor total recebido por Geraldo
Passo 1 — Definir as incógnitas
Antes de montar as equações, precisamos nomear o que queremos descobrir: o valor da hora em cada empresa. Isso transforma o problema em linguagem matemática.
NÃO CAIA NESSA!
Não definir as incógnitas claramente, o que leva a equações erradas.
Passo 2 — Montar as equações
Com as incógnitas definidas, usamos os dados de Eraldo e Francisco para criar duas equações. Cada equação representa o total recebido por cada um, que é a soma dos produtos das horas pelo valor da hora.
Por que esta fórmula: A relação é linear: total = (horas em J) × (valor da hora em J) + (horas em K) × (valor da hora em K). Isso vem direto do enunciado.
De onde vem cada valor: = enunciado: Eraldo trabalhou 4 horas na empresa J · = passo 1: valor da hora na empresa J · = enunciado: Eraldo trabalhou 5 horas na empresa K · = passo 1: valor da hora na empresa K · = enunciado: Eraldo recebeu R$ 1.230,00
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os coeficientes das horas entre as empresas.
Passo 3 — Montar a segunda equação
Precisamos de duas equações para resolver duas incógnitas. A segunda vem dos dados de Francisco.
Por que esta fórmula: Mesma lógica: total = horas em J × valor de J + horas em K × valor de K.
De onde vem cada valor: = enunciado: Francisco trabalhou 8 horas na empresa J · = passo 1 · = enunciado: Francisco trabalhou 2 horas na empresa K · = passo 1 · = enunciado: Francisco recebeu R$ 1.260,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar os valores de Eraldo novamente.
Passo 4 — Eliminar a variável j
Para resolver o sistema, um método é eliminar uma variável somando as equações. Multiplicamos a primeira por -2 para que o coeficiente de j fique -8, cancelando com o +8 da segunda.
Por que esta fórmula: Multiplicar uma equação por um número não altera a igualdade, mas permite que, ao somar, uma variável desapareça.
De onde vem cada valor: = escolhido para cancelar j (pois -2 × 4 = -8) · = passo 2 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar o lado direito também.
Passo 5 — Somar as equações
Somando a equação modificada com a segunda, a variável j some, restando uma equação só com k.
Por que esta fórmula: A soma de equações lineares é válida: se a = b e c = d, então a+c = b+d.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 3 · = passo 4 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a soma dos coeficientes de k: -10 + 2 = -8, não -12.
Passo 6 — Calcular o valor de k
Com a equação -8k = -1200, isolamos k dividindo ambos os lados por -8.
Por que esta fórmula: Para isolar a incógnita, fazemos a operação inversa: como k está multiplicado por -8, dividimos por -8.
De onde vem cada valor: = passo 5 · = passo 5
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal negativo e obter k = -150.
Passo 7 — Substituir k na primeira equação
Com k conhecido, usamos uma das equações originais para achar j.
Por que esta fórmula: Substituição: se k = 150, então na equação 4j + 5k = 1230, trocamos k por 150.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 2 · = passo 6 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Usar a segunda equação por engano.
Passo 8 — Calcular o valor de j
Isolamos j para encontrar o valor da hora na empresa J.
Por que esta fórmula: Subtraímos 750 dos dois lados e depois dividimos por 4.
De onde vem cada valor: = passo 7 · = passo 7
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração: 1230 - 750 = 480, não 580.
Passo 9 — Calcular o total de Geraldo
Agora que sabemos os valores das horas, calculamos quanto Geraldo recebe por suas 5 horas em cada empresa.
Por que esta fórmula: O total é a soma dos produtos: horas em J × valor de J + horas em K × valor de K.
De onde vem cada valor: = enunciado: Geraldo trabalhou 5 horas em cada · = passo 8 · = passo 6