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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2026

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu167022
Banca
VUNESP
Órgão
Faculdade Moinhos
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos de coordenadas \left(1,214\frac{21}{4}\right) \; \text{e} \; (4,3) delimita, com os eixos coordena- dos, um triângulo de área
  1. A28.
  2. B26.
  3. C22.
  4. D30.
  5. E24.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 24.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a Área = 24 — alternativa E.

A ideia por trás

A equação de uma reta no plano cartesiano descreve todos os pontos que pertencem a ela. Uma forma comum é a reduzida, y = mx + n, onde m é a inclinação (coeficiente angular) e n é o ponto onde a reta cruza o eixo y. Os pontos onde a reta corta os eixos são chamados de interceptos: o intercepto x é onde y = 0, e o intercepto y é onde x = 0.

Para achar a equação de uma reta que passa por dois pontos, primeiro calcula-se o coeficiente angular m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), que mede o quanto a reta sobe ou desce para cada unidade que anda na horizontal. Depois, usa-se um dos pontos na forma y - y₀ = m(x - x₀) para encontrar a equação completa. O intercepto y é o valor de n na forma reduzida, e o intercepto x é obtido fazendo y = 0. Esses dois interceptos, junto com a origem, formam um triângulo retângulo cuja área é metade do produto dos catetos.

Esta questão pede exatamente isso: encontrar a equação da reta, achar os dois interceptos e calcular a área do triângulo retângulo que eles formam com a origem. O passo mais delicado é trabalhar com a fração 21/4 no cálculo do coeficiente angular.

O que a questão dá

  • ponto A = (1, 21/4)

  • ponto B = (4, 3)

O que queremos: a área do triângulo formado pela reta que passa por esses pontos e os eixos coordenados

Passo 1 — Calcular o coeficiente angular da reta

O coeficiente angular m é o primeiro passo para escrever a equação da reta, pois ele mede a inclinação. Com dois pontos, calculamos a variação de y dividida pela variação de x.

Por que esta fórmula: A fórmula m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) vem da definição de inclinação: quanto a reta sobe (ou desce) para cada unidade que anda na horizontal. É a base para montar a equação.

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

De onde vem cada valor: y2y_2 = enunciado: 3 · y1y_1 = enunciado: 21/4 · x2x_2 = enunciado: 4 · x1x_1 = enunciado: 1

m=3−2144−1=124−2143=−943=−94×13=−34m = \frac{3 - \frac{21}{4}}{4 - 1} = \frac{\frac{12}{4} - \frac{21}{4}}{3} = \frac{-\frac{9}{4}}{3} = -\frac{9}{4} \times \frac{1}{3} = -\frac{3}{4}
m=−3 /4m = \boxed{-3\ /4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração das frações: 3 - 21/4 = 12/4 - 21/4 = -9/4, e não -18/4. Também é comum inverter a ordem dos pontos, o que muda o sinal.

Passo 2 — Escrever a equação da reta

Com o coeficiente angular e um ponto, conseguimos montar a equação da reta na forma ponto-inclinação, que depois será convertida para a forma reduzida para facilitar achar os interceptos.

Por que esta fórmula: A forma y - y₀ = m(x - x₀) é a maneira direta de escrever a reta quando se conhece um ponto e a inclinação. Ela garante que o ponto (x₀, y₀) satisfaz a equação.

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

De onde vem cada valor: mm = passo 1: -3/4 · x0x_0 = enunciado: 4 (ponto B) · y0y_0 = enunciado: 3 (ponto B)

y−3=−34(x−4)y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 4)
y=−34x+6y = \boxed{-\frac{3}{4}x + 6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o -3/4 corretamente: -3/4 * (x - 4) = -3/4 x + 3, e não -3/4 x - 3.

Passo 3 — Achar o intercepto com o eixo y

O intercepto y é o ponto onde a reta cruza o eixo vertical, ou seja, onde x = 0. Na forma reduzida y = mx + n, esse valor é exatamente o coeficiente n, que já está visível.

Por que esta fórmula: Na equação reduzida y = mx + n, quando x = 0, temos y = n. Portanto, o termo independente n é o intercepto y.

y=−34x+6y = -\frac{3}{4}x + 6

De onde vem cada valor: xx = constante: 0 (eixo y) · 66 = passo 2: coeficiente linear

y=−34⋅0+6=6y = -\frac{3}{4} \cdot 0 + 6 = 6
interceptoy=(0,6)intercepto y = \boxed{(0, 6)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o coeficiente linear com o intercepto x. O coeficiente linear é o ponto onde a reta cruza o eixo y, não o x.

Passo 4 — Achar o intercepto com o eixo x

O intercepto x é o ponto onde a reta cruza o eixo horizontal, ou seja, onde y = 0. Precisamos dele para ter os dois catetos do triângulo.

Por que esta fórmula: Fazendo y = 0 na equação da reta, isolamos x e encontramos o ponto de cruzamento com o eixo x.

0=−34x+60 = -\frac{3}{4}x + 6

De onde vem cada valor: yy = constante: 0 (eixo x) · 66 = passo 2: coeficiente linear

0=−34x+6⇒34x=6⇒x=6×43=80 = -\frac{3}{4}x + 6 \Rightarrow \frac{3}{4}x = 6 \Rightarrow x = 6 \times \frac{4}{3} = 8
interceptox=(8,0)intercepto x = \boxed{(8, 0)}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a álgebra ao isolar x: 6 dividido por 3/4 é 6 * 4/3 = 8, e não 4,5.

Passo 5 — Calcular a área do triângulo

Os interceptos (8,0) e (0,6) com a origem (0,0) formam um triângulo retângulo. A base é a distância no eixo x (8) e a altura é a distância no eixo y (6). A área é metade do produto.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é (base × altura)/2. Aqui, a base e a altura são os catetos do triângulo retângulo, que são exatamente os interceptos.

Aˊrea=base×altura2\text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}

De onde vem cada valor: basebase = passo 4: 8 · alturaaltura = passo 3: 6

Aˊrea=8×62=482=24=24\text{Área} = \frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} = 24 = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 48, que não está nas alternativas. Outro erro é usar os interceptos trocados, mas como são os catetos, o produto é o mesmo.

Resposta: Área = 24 — alternativa E

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