Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2026

Semelhança de Triângulos: o caso AA aplicado

Gabarito: letra A — a medida do segmento SQ é $\sqrt{5}\,\text{cm}$. A chave da questão é perceber que os triângulos PSQ e PQR são semelhantes pelo caso AA (ângulo-ângulo), pois compartilham o ângulo em P e têm os ângulos destacados em laranja congruentes. Com a semelhança, montamos a proporção entre os lados homólogos e resolvemos para SQ.

A ideia por trás

A semelhança de triângulos é um dos conceitos mais poderosos da geometria plana: dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes (homólogos) proporcionais. A grande sacada é que basta garantir dois ângulos congruentes para que a semelhança esteja garantida — é o chamado 1º caso de semelhança (AA). Isso porque, se dois ângulos são iguais, o terceiro também será (a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°).

Na figura, temos o triângulo PQR e o ponto S sobre o lado PR. O enunciado nos diz que o ângulo $P\hat{S}Q$ (formado pelos segmentos PS e SQ) é congruente ao ângulo $P\hat{Q}R$ (o ângulo do triângulo PQR no vértice Q). Além disso, os dois triângulos — o pequeno PSQ e o grande PQR — compartilham o ângulo no vértice P. Portanto, pelo caso AA, os triângulos PSQ e PQR são semelhantes.

Agora vem a parte crucial: identificar os lados homólogos. No triângulo PSQ, o lado que se opõe ao ângulo em Q (o ângulo laranja) é o lado PS. No triângulo PQR, o lado que se opõe ao ângulo em R (que é congruente ao ângulo laranja) é o lado PQ. Mas cuidado: o lado PQ do triângulo PQR é justamente o lado SQ do triângulo PSQ? Não! O lado SQ é um lado do triângulo pequeno, e o lado PQ é um lado do triângulo grande. Vamos montar a correspondência com calma.

No triângulo PSQ:

• Vértice P → ângulo em P (compartilhado)

• Vértice S → ângulo em S (que é o ângulo laranja, congruente ao ângulo em Q do triângulo grande)

• Vértice Q → ângulo em Q (que é o terceiro ângulo, congruente ao ângulo em R do triângulo grande)

No triângulo PQR:

• Vértice P → ângulo em P (compartilhado)

• Vértice Q → ângulo em Q (que é o ângulo laranja, congruente ao ângulo em S do triângulo pequeno)

• Vértice R → ângulo em R (congruente ao ângulo em Q do triângulo pequeno)

Portanto, a correspondência de vértices é: P ↔ P, S ↔ Q, Q ↔ R. Isso significa que os lados homólogos são:

• PS (triângulo pequeno) ↔ PQ (triângulo grande)

• SQ (triângulo pequeno) ↔ QR (triângulo grande)

• PQ (triângulo pequeno) ↔ PR (triângulo grande)

Agora podemos montar a proporção. Sabemos que PS = 5 cm, SR = 4 cm, então PR = PS + SR = 9 cm. E RQ = 3 cm. Queremos SQ. Usando a proporção dos lados homólogos:

Mas não conhecemos PQ nem SQ. Porém, podemos usar a razão entre os lados que conhecemos: PS e PR. Temos PS = 5 e PR = 9. A razão de semelhança do triângulo pequeno para o grande é $\frac{5}{9}$. Então:

Isso daria $SQ = \frac{5}{3}$, que não está entre as alternativas. Onde erramos? Vamos verificar a correspondência dos lados novamente.

Na verdade, a correspondência correta é:

• No triângulo PSQ, o lado PS é oposto ao ângulo em Q (o ângulo laranja).

• No triângulo PQR, o lado que é oposto ao ângulo em R (que é congruente ao ângulo laranja) é o lado PQ.

Então PS ↔ PQ. Correto.

• No triângulo PSQ, o lado SQ é oposto ao ângulo em P.

• No triângulo PQR, o lado que é oposto ao ângulo em P é o lado QR.

Então SQ ↔ QR. Correto.

• No triângulo PSQ, o lado PQ é oposto ao ângulo em S (o ângulo laranja).

• No triângulo PQR, o lado que é oposto ao ângulo em Q (o ângulo laranja) é o lado PR.

Então PQ ↔ PR. Correto.

A proporção correta é:

Substituindo os valores conhecidos: PS = 5, QR = 3, PR = 9.

Temos duas incógnitas: PQ e SQ. Mas podemos usar a primeira e a terceira razões para encontrar PQ:

Agora, usando a primeira e a segunda razões:

Portanto, $SQ = \sqrt{5}\,\text{cm}$, que corresponde à alternativa A.

A pegadinha

A banca explora a confusão na identificação dos lados homólogos. É muito comum o aluno montar a proporção errada, como $\frac{PS}{PR} = \frac{SQ}{RQ}$, o que levaria a $SQ = \frac{5 \times 3}{9} = \frac{5}{3}$, um valor que não aparece nas alternativas. A chave é sempre verificar quais ângulos são congruentes e, a partir deles, determinar quais lados se correspondem. Nesta questão, o ângulo em S do triângulo pequeno é congruente ao ângulo em Q do triângulo grande, então o lado oposto a S (PQ) corresponde ao lado oposto a Q (PR).

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a semelhança entre os triângulos PSQ e PQR pelo caso AA nos dá a proporção $\frac{PS}{PQ} = \frac{SQ}{QR} = \frac{PQ}{PR}$. Resolvendo, encontramos $PQ = 3\sqrt{5}$ e, em seguida, $SQ = \sqrt{5}\,\text{cm}$. A alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$2\sqrt{2}\,\text{cm}$ seria o resultado se a proporção fosse montada de forma diferente, por exemplo, se o aluno considerasse erroneamente que $SQ^2 = PS \times SR$ (uma relação que vale para a altura em triângulo retângulo, não para este caso). $2\sqrt{2} \approx 2,83$, enquanto $\sqrt{5} \approx 2,24$. Não há relação geométrica que produza esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$1,5\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 2,12$. Esse valor poderia surgir de uma proporção incorreta, como $\frac{SQ}{QR} = \frac{SR}{PS}$, o que daria $SQ = \frac{4 \times 3}{5} = 2,4$, que não é $1,5\sqrt{2}$. Não corresponde a nenhuma relação correta entre os lados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\sqrt{15}\,\text{cm} \approx 3,87$. Esse valor poderia vir de $SQ = \sqrt{PS \times SR} = \sqrt{5 \times 4} = \sqrt{20}$, que não é $\sqrt{15}$. Ou de uma aplicação incorreta do Teorema de Pitágoras, como se SQ fosse hipotenusa de um triângulo com catetos 3 e 4, o que daria 5. Nenhuma relação correta produz $\sqrt{15}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

5 cm seria o valor de SQ se o triângulo PSQ fosse congruente ao triângulo PSR, o que não é o caso. Também seria o valor se SQ fosse igual a PS, mas a semelhança mostra que os lados são proporcionais, não iguais. O valor 5 cm é um distrator que explora a confusão entre semelhança e congruência.

Gabarito: letra A