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Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2026

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu167076
Banca
VUNESP
Órgão
MPE SP
Ano
2026
Cargo
AuxP
A figura a seguir indica uma escada de extensão AB‾\overline{AB} em duas posições sendo, portanto, AB = A’B’. Sabe-se também que AA’ = 1 m, CB = 1 m e BB’ = 2 m:   figura fora de escala   Usando, se necessário, o fato de que (x + y)^2 é igual a x^2 + 2xy + y^2, para quaisquer números reais x e y, a medida de A′C‾\overline{A'C}, em metros, éImagem associada para resolução da questão
  1. A5,0.
  2. B4,0.
  3. C4,5.
  4. D3,0.
  5. E3,5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 3,5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A'C = 3,5 m — alternativa E.

A ideia por trás

O Teorema de Pitágoras vale para todo triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é a soma dos quadrados dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto). Ele permite descobrir um lado desconhecido quando se conhece os outros dois, e é a ferramenta básica para relacionar distâncias em figuras com ângulos retos.

A relação é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos. Se um cateto cresce, a hipotenusa cresce também, mas de forma não linear: dobrar um cateto não dobra a hipotenusa, pois ela depende da raiz quadrada da soma dos quadrados. Essa relação vale apenas para triângulos retângulos, ou seja, que tenham um ângulo de 90°.

A questão apresenta dois triângulos retângulos formados pela escada em duas posições. Como a escada tem o mesmo comprimento, as hipotenusas são iguais, o que permite igualar as duas aplicações do Teorema de Pitágoras e montar uma equação para achar o lado desconhecido.

O que a questão dá

  • AA' = 1 m

  • CB = 1 m

  • BB' = 2 m

  • AB = A'B' (mesma escada)

O que queremos: a medida de A'C

Passo 1 — Expressar os catetos em função de x

Vamos chamar de x a medida de A'C, que é o que queremos. Os outros catetos podem ser escritos em função de x usando os deslocamentos dados: AC é a soma de A'C com AA', e CB' é a soma de CB com BB'.

Por que esta fórmula: A figura mostra que A' está 1 m à esquerda de A, então AC = A'C + AA' = x + 1. E o topo sobe 2 m, então CB' = CB + BB' = 1 + 2 = 3.

AC=x+1,CB′=3AC = x + 1, \quad CB' = 3

De onde vem cada valor: xx = definição: A'C · AA′AA' = enunciado: 1 m · CBCB = enunciado: 1 m · BB′BB' = enunciado: 2 m

AC=x+1,CB′=1+2=3AC = x + 1, \quad CB' = 1 + 2 = 3

AC = x + 1, CB' = 3

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o deslocamento: usar AC = x em vez de x + 1.

Passo 2 — Aplicar Pitágoras nos dois triângulos

Com os catetos conhecidos, aplicamos o Teorema de Pitágoras em cada triângulo para obter expressões para o quadrado da hipotenusa (o comprimento da escada).

Por que esta fórmula: Em ABC: AB² = AC² + CB². Em A'B'C: A'B'² = A'C² + CB'². Essas são as relações diretas do teorema.

AB2=(x+1)2+12,A′B′2=x2+32AB^{2} = (x+1)^{2} + 1^{2}, \quad A'B'^{2} = x^{2} + 3^{2}

De onde vem cada valor: ACAC = passo 1: x + 1 · CBCB = enunciado: 1 m · A′CA'C = definição: x · CB′CB' = passo 1: 3 m

AB2=(x+1)2+1,A′B′2=x2+9AB^{2} = (x+1)^{2} + 1, \quad A'B'^{2} = x^{2} + 9
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os catetos: usar CB' = 2 em vez de 3.

Passo 3 — Igualar as hipotenusas ao quadrado

A escada tem o mesmo comprimento nas duas posições, então AB = A'B'. Elevando ao quadrado, os quadrados também são iguais, o que nos permite igualar as duas expressões obtidas no passo anterior.

Por que esta fórmula: Se AB = A'B', então AB² = A'B'². Isso é uma propriedade da igualdade: elevar ambos os lados ao quadrado mantém a igualdade.

(x+1)2+1=x2+9(x+1)^{2} + 1 = x^{2} + 9

De onde vem cada valor: AB2AB^{2} = passo 2 · A′B′2A'B'^{2} = passo 2

(x+1)2+1=x2+9(x+1)^{2} + 1 = x^{2} + 9
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e igualar AB = A'B' diretamente, o que não leva a uma equação útil.

Passo 4 — Expandir o quadrado da soma

Para resolver a equação, precisamos eliminar os parênteses. O enunciado sugere usar a identidade (x+y)² = x² + 2xy + y², que é exatamente o que faremos com (x+1)².

Por que esta fórmula: A identidade do quadrado da soma é uma regra algébrica: (a+b)² = a² + 2ab + b². Aqui a = x e b = 1.

(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1

De onde vem cada valor: xx = definição: A'C · 11 = constante

(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1
NÃO CAIA NESSA!

Escrever (x+1)² = x² + 1, esquecendo o termo 2x.

Passo 5 — Resolver a equação para x

Com a expansão feita, a equação fica linear e podemos isolar x para encontrar o valor de A'C.

Por que esta fórmula: Substituímos a expansão na equação do passo 3 e simplificamos: x² + 2x + 1 + 1 = x² + 9. Cancelamos x² dos dois lados, ficando 2x + 2 = 9, então 2x = 7 e x = 3,5.

2x+2=9⇒x=722x + 2 = 9 \Rightarrow x = \frac{7}{2}

De onde vem cada valor: 2x2x = passo 4: termo 2x · 22 = passo 4: 1 + 1 · 99 = passo 3: x² + 9 - x²

2x+2=9⇒2x=7⇒x=3,5=3,5 m2x + 2 = 9 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3{,}5 = \boxed{3{,}5\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 1 + 1 = 2, ou esquecer de subtrair 2 dos dois lados.

Resposta: A'C = 3,5 m — alternativa E

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