GabaritoC — 8\sqrt{2}
Gabarito: letra C — a conta chega a 8√2 cm — alternativa C.
Um triângulo isósceles tem dois lados iguais, chamados de lados congruentes, e uma base diferente. A altura relativa à base é o segmento perpendicular que vai do vértice oposto até a base, e nesse tipo de triângulo ela também divide a base em duas partes iguais, formando dois triângulos retângulos idênticos. Um quadrado é um retângulo com todos os lados iguais, e sua diagonal é o segmento que liga dois vértices opostos, dividindo-o em dois triângulos retângulos isósceles.
No triângulo retângulo formado pela altura, valem as relações de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa (lado congruente) é a soma dos quadrados dos catetos (altura e metade da base). Assim, a altura h é dada por h = √(lado² - (base/2)²). No quadrado de lado l, a diagonal d é sempre l√2, pois ela é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos iguais a l. Portanto, se o lado do quadrado é igual à altura do triângulo, a diagonal é h√2.
Esta questão pede para usar a propriedade do triângulo isósceles para achar a altura, que é o lado do quadrado, e então calcular a diagonal. Precisamos aplicar Pitágoras no triângulo retângulo e depois a fórmula da diagonal do quadrado.
triângulo ABC é isósceles com base BC
altura relativa à base divide a base ao meio
altura do triângulo tem a mesma medida do lado do quadrado DEFG
lado congruente do triângulo = 10 cm (da figura)
base BC = 12 cm (da figura)
O que queremos: a medida da diagonal GE do quadrado DEFG
A altura do triângulo isósceles o divide em dois triângulos retângulos. Nesses triângulos, a hipotenusa é o lado congruente (10 cm), um cateto é a metade da base (6 cm) e o outro cateto é a própria altura, que queremos descobrir. Precisamos desses valores para aplicar Pitágoras.
Por que esta fórmula: Não há fórmula ainda, apenas leitura da figura: o lado congruente AB = 10 cm e a base BC = 12 cm, então a metade da base é 12/2 = 6 cm.
hipotenusa = 10 cm, cateto = 6 cm
Usar a base inteira (12 cm) como cateto em vez da metade (6 cm) — isso daria uma altura errada.
Com os dois lados conhecidos do triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras permite achar o terceiro lado, que é a altura. Essa altura será o lado do quadrado.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, a hipotenusa é o lado congruente (10), um cateto é a metade da base (6) e o outro é a altura (h). Isolando h, temos h = √(10² - 6²).
De onde vem cada valor: = enunciado: lado congruente AB = 10 cm · = passo 1: metade da base = 12/2 = 6 cm
Somar os quadrados em vez de subtrair: √(100+36) = √136, que não é 8.
O enunciado afirma que a altura do triângulo tem a mesma medida do lado do quadrado DEFG. Como já calculamos a altura, esse valor é diretamente o lado do quadrado.
Por que esta fórmula: Não há fórmula, é uma igualdade dada: lado do quadrado = altura do triângulo.
De onde vem cada valor: = passo 2: 8 cm
Esquecer essa relação e tentar usar outro valor para o lado do quadrado.
A diagonal de um quadrado é sempre o lado multiplicado por √2, porque ela forma um triângulo retângulo com os dois lados do quadrado. Com o lado conhecido, aplicamos essa relação.
Por que esta fórmula: No quadrado de lado l, a diagonal d é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l e l. Por Pitágoras, d² = l² + l² = 2l², então d = l√2.
De onde vem cada valor: = passo 3: 8 cm
Usar d = l/√2 ou esquecer a raiz, respondendo 8 cm.
Resposta: 8√2 cm — alternativa C
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