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Questão de Matemática — Progressão Geométrica — VUNESP 2026

MatemáticaProgressão Geométrica
Código
vu167282
Banca
VUNESP
Órgão
CUSC
Ano
2026
Cargo
Vest Med ( )
A progressão geométrica infinita (a_1, a_2, \dots) tem primeiro termo a_1 positivo e razão 64125\frac{64}{125}. Usando a aproximação \log_2 5 = 2,32, o menor valor de n para o qual a_n ≤\leq a18\frac{a_1}{8} é
  1. A8.
  2. B7.
  3. C6.
  4. D5.
  5. E4.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a n = 5 — alternativa D.

A ideia por trás

Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante chamada razão. O termo geral é a_n = a_1 · q^(n-1), onde a_1 é o primeiro termo e n é a posição. Quando a razão está entre 0 e 1, a sequência decresce: cada termo é menor que o anterior.

A desigualdade a_n ≤ a_1/8 significa que o termo deve ser no máximo um oitavo do primeiro. Como a_1 é positivo, podemos dividir tudo por a_1 sem inverter o sinal. Para isolar o expoente n-1, usamos logaritmo na base 2, que é uma função crescente: se x ≤ y, então log_2 x ≤ log_2 y. Isso permite transformar a potência em uma multiplicação.

Esta questão pede para encontrar o menor n que satisfaz a condição. Vamos usar o termo geral, simplificar as potências de 2 e 5, aplicar logaritmo e resolver a inequação resultante.

O que a questão dá

  • primeiro termo a_1 > 0

  • razão q = 64/125

  • log_2 5 = 2,32

O que queremos: o menor valor de n tal que a_n ≤ a_1/8

Passo 1 — Escrever a condição com o termo geral

Precisamos traduzir a condição a_n ≤ a_1/8 em uma expressão que envolva n. O termo geral da PG é a_n = a_1 · q^(n-1), então substituímos isso na desigualdade.

Por que esta fórmula: O termo geral é a fórmula que relaciona qualquer termo com o primeiro e a razão. É a base para trabalhar com a sequência.

a1⋅(64125)n−1≤a18a_1 \cdot \left(\frac{64}{125}\right)^{n-1} \leq \frac{a_1}{8}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: primeiro termo positivo · 64125\frac{64}{125} = enunciado: razão q · n−1n-1 = definição: posição do termo menos 1 · a18\frac{a_1}{8} = enunciado: condição dada

a1⋅(64125)n−1≤a18a_1 \cdot \left(\frac{64}{125}\right)^{n-1} \leq \frac{a_1}{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o expoente n-1 e usar n, o que daria um valor diferente.

Passo 2 — Dividir ambos os lados por a_1

Como a_1 é positivo, podemos dividir a desigualdade por a_1 sem inverter o sinal. Isso elimina a_1 e simplifica a expressão.

Por que esta fórmula: Dividir por um número positivo não altera a direção da desigualdade. Isso é uma propriedade básica das inequações.

(64125)n−1≤18\left(\frac{64}{125}\right)^{n-1} \leq \frac{1}{8}

De onde vem cada valor: 64125\frac{64}{125} = passo 1 · 18\frac{1}{8} = passo 1: a_1/8 dividido por a_1

(64125)n−1≤18\left(\frac{64}{125}\right)^{n-1} \leq \frac{1}{8}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir apenas um lado ou inverter o sinal sem necessidade.

Passo 3 — Reescrever como potências de 2 e 5

Para aplicar logaritmo na base 2, precisamos expressar os números como potências de 2 e 5. Isso facilita a simplificação.

Por que esta fórmula: 64 = 2^6, 125 = 5^3, e 8 = 2^3. Assim, a fração vira (2^6 / 5^3)^(n-1) e 1/8 vira 2^(-3).

(frac2^65^3)^n-1 ≤ 2^-3

De onde vem cada valor: 262^{6} = constante: 64 = 2^6 · 535^{3} = constante: 125 = 5^3 · 2−32^{-3} = constante: 1/8 = 2^{-3}

(frac2^65^3)^n-1 ≤ 2^-3
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 125 = 5^3 e tentar usar 5^2.

Passo 4 — Aplicar logaritmo na base 2

O logaritmo transforma a potência em multiplicação, permitindo isolar n. Como a base 2 é maior que 1, a função é crescente e não inverte a desigualdade.

Por que esta fórmula: log_2(x^y) = y · log_2 x. Aplicamos isso em ambos os lados.

(n-1) · \log_2(frac2^65^3) ≤ \log_2(2^-3)

De onde vem cada valor: n−1n-1 = passo 1 · frac2^65^3 = passo 3 · 2−32^{-3} = passo 3

(n-1) · \log_2(frac2^65^3) ≤ -3
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de aplicar o logaritmo no lado direito ou inverter a desigualdade.

Passo 5 — Simplificar o logaritmo da fração

Precisamos calcular o valor numérico do logaritmo para resolver a inequação. Usamos as propriedades dos logaritmos para separar.

Por que esta fórmula: log_2(a/b) = log_2 a - log_2 b. E log_2(2^6) = 6, log_2(5^3) = 3·log_2 5.

\log_2(frac2^65^3) = 6 - 3 · \log_2 5

De onde vem cada valor: 66 = constante: log_2(2^6) = 6 · 33 = constante: expoente de 5^3 · log⁡25\log_2 5 = enunciado: 2,32

6−3⋅2,32=6−6,96=−0,96=−0,966 - 3 \cdot 2{,}32 = 6 - 6{,}96 = -0{,}96 = \boxed{-0{,}96}
NÃO CAIA NESSA!

Usar log_2 5 = 2,32 como log_2 5^3 = 2,32, esquecendo o expoente.

Passo 6 — Substituir e resolver a inequação

Agora temos uma inequação linear em n. Substituímos o valor do logaritmo e isolamos n, lembrando de inverter o sinal ao dividir por número negativo.

Por que esta fórmula: A inequação é (n-1)·(-0,96) ≤ -3. Dividindo por -0,96, o sinal inverte.

n−1≥−3−0,96n-1 \geq \frac{-3}{-0{,}96}

De onde vem cada valor: −0,96-0{,}96 = passo 5 · −3-3 = passo 4

n−1≥3,125=n≥4,125n-1 \geq 3{,}125 = \boxed{\text{n} ≥ 4,125}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de inverter o sinal ao dividir por número negativo, resultando em n ≤ 4,125.

Passo 7 — Encontrar o menor inteiro n

n deve ser um número natural (posição do termo). O menor inteiro maior ou igual a 4,125 é 5.

Por que esta fórmula: Como n é inteiro, arredondamos para cima.

n=5n = 5

De onde vem cada valor: nn = passo 6

n=5n = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para baixo e escolher 4, que não satisfaz a condição.

Resposta: n = 5 — alternativa D

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