Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2026

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a ab = 12 — alternativa A.

A ideia por trás

Uma reta no plano cartesiano é o conjunto de pontos que satisfazem uma equação do primeiro grau em x e y. Essa equação pode ser escrita de várias formas; uma delas, a forma segmentária, usa diretamente os pontos onde a reta corta os eixos: se ela passa por (p, 0) e (0, q), então x/p + y/q = 1. Essa forma é prática porque os números p e q já aparecem no denominador.

A forma segmentária x/p + y/q = 1 vem do fato de que, no ponto (p, 0), o termo x/p vale 1 e y/q vale 0, e no ponto (0, q) acontece o contrário. Isolando y, obtemos a forma reduzida y = mx + n, onde m é o coeficiente angular (quanto a reta sobe ou desce por unidade em x) e n é o coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y). Duas retas se cruzam no ponto que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo.

Esta questão fornece os pontos de interseção com os eixos, então o caminho é usar a forma segmentária para achar as equações reduzidas e depois resolver o sistema. O produto pedido é simplesmente a multiplicação das coordenadas do ponto comum.

O que a questão dá

• reta r passa por (–1, 0) e (0, 1)

• reta s passa por (1, 0) e (0, –2)

O que queremos: o produto ab das coordenadas do ponto de interseção das retas r e s

Passo 1 — Escrever a equação da reta r

Precisamos de uma expressão algébrica para cada reta para poder compará-las. Como conhecemos os dois pontos onde r corta os eixos, a forma segmentária é a mais direta.

Por que esta fórmula: A forma segmentária x/p + y/q = 1 vale para qualquer reta que não passe pela origem e que corte os eixos em (p, 0) e (0, q). Aqui p = –1 e q = 1.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: variável independente da equação da reta · $y$ = definição: variável dependente da equação da reta · $-1$ = enunciado: ponto (–1, 0) · $1$ = enunciado: ponto (0, 1)

Passo 2 — Escrever a equação da reta s

Com a equação de r em mãos, falta a de s para podermos igualar as duas. Novamente usamos a forma segmentária, agora com p = 1 e q = –2.

Por que esta fórmula: Mesma justificativa do passo anterior: a reta s corta os eixos em (1, 0) e (0, –2), então a forma segmentária é x/1 + y/(–2) = 1.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: variável independente da equação da reta · $y$ = definição: variável dependente da equação da reta · $1$ = enunciado: ponto (1, 0) · $-2$ = enunciado: ponto (0, –2)

Passo 3 — Igualar as duas equações

O ponto de interseção pertence às duas retas, então suas coordenadas satisfazem as duas equações. Igualar os y é o método para achar o x comum.

Por que esta fórmula: Como ambas as equações estão na forma y = ..., podemos igualar os lados direitos: x + 1 = 2x – 2. Isso é resolver um sistema por substituição.

De onde vem cada valor: $x + 1$ = passo 1: equação de r · $2x - 2$ = passo 2: equação de s

Passo 4 — Calcular a coordenada y do ponto

Já temos o x do ponto comum; falta o y. Basta substituir o x encontrado em qualquer uma das equações originais.

Por que esta fórmula: Usamos a equação de r, y = x + 1, porque é a mais simples. Substituir x = 3 dá y = 4.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3: 3 · $1$ = passo 1: coeficiente linear de r

Passo 5 — Multiplicar as coordenadas

A questão pede o produto ab, ou seja, x vezes y do ponto de interseção. Com as coordenadas (3, 4) em mãos, a conta é imediata.

Por que esta fórmula: O produto é simplesmente a multiplicação dos dois valores encontrados.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3: 3 · $y$ = passo 4: 4

Resposta: ab = 12 — alternativa A