Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Probabilidade: comparação de desempenho em cobranças de pênalti

Gabarito: letra D — a probabilidade de Letícia converter mais gols do que Natália é $\frac{21}{50}$. Para chegar a esse valor, é preciso modelar o número de gols de cada jogadora como uma distribuição binomial (cada uma cobra 2 pênaltis independentes), listar os cenários em que o número de gols de Letícia supera o de Natália e somar as probabilidades de cada cenário.

O problema envolve duas variáveis aleatórias independentes: o número de gols de Letícia ($L$) e o número de gols de Natália ($N$), ambas podendo assumir os valores 0, 1 ou 2. Como cada cobrança é um evento independente com probabilidade de sucesso constante, o número de gols de cada jogadora segue uma distribuição binomial com parâmetros $n=2$ e $p$ igual à probabilidade individual de conversão. Para Letícia, $p_L = \frac{3}{4}$; para Natália, $p_N = \frac{3}{5}$.

A probabilidade de uma jogadora marcar exatamente $k$ gols em 2 cobranças é dada pela fórmula da binomial: $P(X=k) = \binom{2}{k} p^k (1-p)^{2-k}$. Vamos calcular as distribuições completas de ambas, pois precisaremos delas para somar os cenários favoráveis.

Para Letícia ($p_L = \frac{3}{4}$, $q_L = \frac{1}{4}$):

• $P(L=0) = \binom{2}{0} \left(\frac{3}{4}\right)^0 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

• $P(L=1) = \binom{2}{1} \left(\frac{3}{4}\right)^1 \left(\frac{1}{4}\right)^1 = 2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

• $P(L=2) = \binom{2}{2} \left(\frac{3}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{9}{16} \times 1 = \frac{9}{16}$

Para Natália ($p_N = \frac{3}{5}$, $q_N = \frac{2}{5}$):

• $P(N=0) = \binom{2}{0} \left(\frac{3}{5}\right)^0 \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 \times 1 \times \frac{4}{25} = \frac{4}{25}$

• $P(N=1) = \binom{2}{1} \left(\frac{3}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^1 = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{12}{25}$

• $P(N=2) = \binom{2}{2} \left(\frac{3}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^0 = 1 \times \frac{9}{25} \times 1 = \frac{9}{25}$

Queremos $P(L > N)$. Os cenários possíveis são:

1. $L=1$ e $N=0$

2. $L=2$ e $N=0$

3. $L=2$ e $N=1$

Como os eventos são independentes, a probabilidade de cada cenário é o produto das probabilidades individuais. Somando:

$P(L>N) = P(L=1)P(N=0) + P(L=2)P(N=0) + P(L=2)P(N=1)$

$P(L>N) = \frac{3}{8} \times \frac{4}{25} + \frac{9}{16} \times \frac{4}{25} + \frac{9}{16} \times \frac{12}{25}$

$P(L>N) = \frac{12}{200} + \frac{36}{400} + \frac{108}{400}$

$P(L>N) = \frac{24}{400} + \frac{36}{400} + \frac{108}{400} = \frac{168}{400} = \frac{21}{50}$

A chave para não errar é lembrar que cada jogadora cobra dois pênaltis, então o número de gols de cada uma não é um evento único, mas uma variável que pode ser 0, 1 ou 2. É preciso considerar todas as combinações em que Letícia supera Natália, e não apenas comparar as probabilidades individuais de conversão de um pênalti.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{9}{20}$ corresponde à probabilidade de Letícia converter exatamente 1 dos 2 pênaltis ($\frac{3}{8}$) multiplicada por algo, ou pode ser um distrator baseado na comparação direta das probabilidades individuais ($\frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$), que seria a probabilidade de ambas converterem um pênalti específico — não é o que se pede. O erro está em não modelar os dois pênaltis de cada jogadora e não somar todos os cenários de vitória.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{11}{20}$ é um valor que não corresponde a nenhuma combinação direta das probabilidades dadas. Pode ser um distrator para quem calcula corretamente a probabilidade de Letícia marcar mais gols em uma única cobrança ($\frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$) e tenta adaptar, ou para quem soma probabilidades de forma incorreta. O erro está em não considerar a distribuição binomial completa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{9}{50}$ é exatamente a probabilidade de Letícia marcar 2 gols ($\frac{9}{16}$) e Natália marcar 0 gols ($\frac{4}{25}$), mas apenas um dos três cenários favoráveis. Quem escolhe essa alternativa considera somente o caso extremo (Letícia 2 × Natália 0) e esquece os cenários em que Letícia marca 1 e Natália 0, ou Letícia 2 e Natália 1. O erro está em não somar todos os casos em que $L > N$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a soma dos três cenários favoráveis resulta em $\frac{21}{50}$. A alternativa correta considera corretamente que cada jogadora cobra 2 pênaltis, modela o número de gols de cada uma como uma distribuição binomial e soma as probabilidades de todos os casos em que Letícia converte mais gols que Natália.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{27}{50}$ é um valor que pode surgir de um erro de cálculo na soma das frações, como somar os numeradores sem encontrar o denominador comum correto, ou de considerar cenários incorretos (como $L=1$ e $N=0$ com probabilidades trocadas). O erro está na aritmética das frações ou na modelagem incorreta dos cenários.

Gabarito: letra D