Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Geometria Plana: Circunferência e Quadrado Inscrito

Gabarito: letra B — o raio da circunferência é $4\sqrt{2}$ cm. A figura mostra um quadrado inscrito na circunferência; a diagonal do quadrado coincide com o diâmetro da circunferência, e como a diagonal de um quadrado de lado $a$ é $a\sqrt{2}$, temos $2R = a\sqrt{2}$. Com o lado do quadrado dado como 8 cm, o raio resulta $R = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ cm.

A ideia por trás

Quando um quadrado está inscrito numa circunferência, todos os seus vértices pertencem à circunferência. O ponto central da circunferência (O) coincide com o centro do quadrado, que é o ponto de encontro das diagonais. A diagonal do quadrado, portanto, passa pelo centro O e tem suas extremidades sobre a circunferência — exatamente a definição de diâmetro. Assim, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência.

A diagonal de um quadrado de lado $a$ é dada por $d = a\sqrt{2}$. Essa relação vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado por dois lados do quadrado e sua diagonal: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, logo $d = a\sqrt{2}$.

Como o diâmetro é o dobro do raio ($d = 2R$), temos a equação que resolve o problema: $2R = a\sqrt{2}$. Basta substituir o valor do lado do quadrado fornecido na figura para encontrar o raio.

Aplicando ao problema

Na figura, o lado do quadrado é dado como 8 cm. Substituindo na relação:

Portanto, o raio da circunferência é $4\sqrt{2}$ cm, que corresponde à alternativa B.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre o lado do quadrado e o raio da circunferência. Muitos candidatos, ao verem o lado 8 cm, marcam a alternativa A (4 cm), pensando que o raio é metade do lado. Mas o raio não é metade do lado — é metade da diagonal do quadrado. A relação correta é $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, não $R = \frac{a}{2}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

4 cm seria o resultado se o raio fosse metade do lado do quadrado ($8/2 = 4$). Esse é o erro clássico: confundir o lado do quadrado com o diâmetro da circunferência. O raio é metade da diagonal, não do lado.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$4\sqrt{2}$ cm é o valor correto. A diagonal do quadrado de lado 8 cm é $8\sqrt{2}$ cm, que é o diâmetro da circunferência. O raio é a metade: $R = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ cm.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$4\sqrt{3}$ cm não corresponde a nenhuma relação direta entre o quadrado e a circunferência. O $\sqrt{3}$ aparece em problemas com triângulos equiláteros ou hexágonos regulares, não com quadrados. A diagonal do quadrado usa $\sqrt{2}$, não $\sqrt{3}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{16}{3}$ cm é um valor que não deriva de nenhuma relação geométrica simples entre o quadrado e a circunferência. Não há base para esse número no problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{8\sqrt{2}}{3}$ cm seria o resultado se o diâmetro fosse dividido por 3 em vez de por 2. O aluno que erra aqui provavelmente confunde a fórmula ou aplica uma razão incorreta. O correto é dividir a diagonal por 2, resultando em $4\sqrt{2}$ cm.

Gabarito: letra B