GabaritoE — 60 cm.
Gabarito: letra E — a conta chega a 60 cm — alternativa E.
Quando um retângulo está apoiado sobre a base de um triângulo maior, com o lado de cima tocando os outros dois lados, ele divide o triângulo em dois triângulos menores nos cantos e um retângulo no meio. Esses triângulos menores são semelhantes ao triângulo original, porque compartilham os mesmos ângulos: um é reto e o outro é o ângulo do vértice do triângulo grande. Semelhança de triângulos significa que os lados correspondentes são proporcionais — se um lado do triângulo pequeno é metade do lado correspondente do grande, todos os outros também são.
A semelhança permite montar uma proporção entre as alturas e as bases dos triângulos: a razão entre a altura do triângulo pequeno e a altura do grande é igual à razão entre a base do pequeno e a base do grande. Se chamarmos de h a altura do retângulo e de b a sua base, a altura do triângulo pequeno é a diferença entre a altura total e h, e a base do pequeno é a diferença entre a base total e b. Essa proporção é o que liga as medidas do retângulo às medidas do triângulo maior.
Esta questão cobra exatamente essa proporção: com as medidas do triângulo maior e a altura do retângulo, montamos a semelhança para achar a base do retângulo e então o perímetro.
figura com quadrilátero ABDF e retângulo ACEF inscrito
altura do triângulo ABD = 20 cm (medida na figura)
base do triângulo ABD = 30 cm (medida na figura)
altura do retângulo ACEF = 12 cm (medida na figura)
O que queremos: o perímetro do retângulo ACEF
Para usar a semelhança, precisamos relacionar as medidas do triângulo pequeno (ACE) com as do triângulo grande (ABD). A semelhança nos dá uma equação que liga a base e a altura do retângulo com as medidas do triângulo maior, e é essa equação que vamos resolver.
Por que esta fórmula: A semelhança entre o triângulo pequeno (ACE) e o grande (ABD) diz que a razão entre a altura do pequeno e a altura do grande é igual à razão entre a base do pequeno e a base do grande. A altura do pequeno é a altura total menos a altura do retângulo, e a base do pequeno é a base total menos a base do retângulo.
De onde vem cada valor: = enunciado: altura do triângulo ABD = 20 cm · = enunciado: altura do retângulo ACEF = 12 cm · = enunciado: base do triângulo ABD = 30 cm · = definição: base do retângulo (incógnita)
Inverter a proporção, colocando H-h sobre B-b em vez de sobre H e B.
A proporção é uma equação com uma incógnita, b. Isolando b, descobrimos a base do retângulo, que é necessária para o perímetro.
Por que esta fórmula: Multiplicamos cruzado e isolamos b: primeiro simplificamos o lado esquerdo, depois multiplicamos ambos os lados por 30 e subtraímos de 30.
De onde vem cada valor: = enunciado: 30 cm · = enunciado: 20 cm · = enunciado: 12 cm
Errar a ordem das operações: primeiro a subtração dentro do parêntese, depois a multiplicação e divisão.
O perímetro é a soma de todos os lados do retângulo. Como temos base e altura, aplicamos a fórmula direta.
Por que esta fórmula: O retângulo tem dois lados de comprimento b e dois de comprimento h, então o perímetro é 2b + 2h, ou 2(b+h).
De onde vem cada valor: = passo 2: 18 cm · = enunciado: 12 cm
Esquecer de multiplicar por 2 e somar apenas b+h, obtendo 30 cm.
Resposta: 60 cm — alternativa E
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