GabaritoA — 4 cm.
Gabarito: letra A — a conta chega a O raio do cilindro A mede 4 cm — alternativa A..
O volume de um cilindro reto é a quantidade de espaço que ele ocupa, calculada como a área da base (um círculo) vezes a altura. A base circular tem área πr², então o volume é V = πr²h, com r em centímetros e h em centímetros, resultando em cm³. Essa fórmula vale para qualquer cilindro reto, onde a base é perpendicular à altura.
A relação que governa é V = πr²h. O volume cresce com o quadrado do raio: dobrar o raio quadruplica a área da base e, portanto, o volume (se a altura for fixa). A altura entra de forma linear: dobrar a altura dobra o volume. Nesta questão, temos dois cilindros com alturas diferentes e raios relacionados, e a diferença de volumes é dada, o que permite montar uma equação.
Esta questão cobra a aplicação da fórmula do volume do cilindro para montar uma equação do segundo grau a partir da diferença de volumes. O desafio é traduzir as relações do enunciado em uma equação algébrica e resolvê-la corretamente.
altura do cilindro A = 5 cm
altura do cilindro B = 6 cm
raio de B = raio de A + 2 cm
raios menores que 10 cm
volume de B - volume de A = 136π cm³
O que queremos: o raio do cilindro A
Precisamos relacionar os dois cilindros. O enunciado diz que o raio de B excede o de A em 2 cm, então se chamarmos o raio de A de r, o raio de B é r + 2. Isso nos permite escrever os volumes de ambos com uma única incógnita.
Por que esta fórmula: É uma tradução direta da frase 'o raio de B excede o raio de A em 2 cm'.
De onde vem cada valor: = definição: raio do cilindro A, que queremos descobrir · = enunciado: excede em 2 cm
Inverter a relação, escrevendo r_A = r_B + 2, o que levaria a uma equação errada.
O enunciado fornece a diferença entre os volumes: V_B - V_A = 136π. Substituindo as fórmulas de volume com os raios expressos em função de r, obtemos uma equação que relaciona r com o valor dado.
Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do volume do cilindro V = πr²h para cada cilindro e subtraímos, pois é isso que o enunciado descreve.
De onde vem cada valor: = constante: pi · = passo 1: raio de B ao quadrado · = enunciado: altura de B · = definição: raio de A ao quadrado · = enunciado: altura de A · = enunciado: diferença de volumes
Esquecer de multiplicar pelo π ou errar a ordem da subtração.
Para facilitar a resolução, dividimos ambos os lados da equação por π, já que π é uma constante diferente de zero. Isso elimina o π e simplifica os números.
Por que esta fórmula: Dividir uma equação por um fator comum não altera a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 2: volume de B sem π · = passo 2: volume de A sem π · = passo 2: diferença sem π
Esquecer de dividir todos os termos por π, mantendo π na equação e complicando os cálculos.
Precisamos transformar a equação em uma forma padrão de equação do segundo grau. Expandimos (r+2)^2 = r^2 + 4r + 4 e depois combinamos os termos semelhantes.
Por que esta fórmula: A expansão do quadrado da soma é uma identidade algébrica: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
De onde vem cada valor: = passo 3: expansão de 6(r+2)^2 · = passo 3 · = passo 3
Errar a expansão de (r+2)^2, por exemplo escrevendo r^2 + 4 em vez de r^2 + 4r + 4.
Para resolver a equação do segundo grau, precisamos deixá-la na forma ax² + bx + c = 0. Movemos todos os termos para um lado e simplificamos.
Por que esta fórmula: A forma padrão permite aplicar a fórmula de Bhaskara.
De onde vem cada valor: = passo 4: 6r^2 - 5r^2 · = passo 4: 24r · = passo 4: 24 - 136
Errar o sinal ao mover o 136 para o outro lado, resultando em +112 em vez de -112.
O discriminante Δ = b² - 4ac indica quantas raízes reais a equação tem e é necessário para aplicar a fórmula de Bhaskara.
Por que esta fórmula: Na fórmula de Bhaskara, Δ aparece dentro da raiz quadrada.
De onde vem cada valor: = passo 5: 24 · = passo 5: 1 · = passo 5: -112
Esquecer de considerar o sinal de c, resultando em Δ = 576 - 448 = 128, que não tem raiz quadrada inteira.
Com o discriminante calculado, podemos encontrar as raízes da equação, que são os possíveis valores de r.
Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara fornece as raízes de uma equação do segundo grau: r = (-b ± √Δ) / (2a).
De onde vem cada valor: = passo 5: 24 · = passo 6: 1024 · = passo 5: 1
r = 4 ou r = -28
Errar o sinal na fórmula, por exemplo usando -b - √Δ em vez de -b + √Δ, obtendo raízes incorretas.
O raio é uma medida de comprimento, então deve ser positivo. Além disso, o enunciado diz que os raios são menores que 10 cm, então a raiz negativa é descartada e a positiva deve ser verificada.
Por que esta fórmula: A condição física e a restrição do enunciado eliminam a raiz negativa.
Aceitar a raiz negativa por descuido, ou não verificar se a raiz positiva atende à condição de ser menor que 10.
Resposta: O raio do cilindro A mede 4 cm — alternativa A.
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