No início de certo mês, em um restaurante, o número de pratos correspondia a 80% do número de copos. Ao longo desse mês, foram comprados 60 copos e 20 pratos, e houve o descarte de 45 copos e 8 pratos. No fim do mês, o número de copos excedia em 30 o número de pratos. Nessas condições, o número de copos nesse restaurante no início do mês era igual a
A120.
B125.
C130.
D135.
E140.
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GabaritoD — 135.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 135 copos — alternativa D.
A ideia por trás
Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada equação traduz uma frase do problema em linguagem matemática: uma fala da relação inicial entre pratos e copos, outra fala da relação final depois das compras e descartes.
A primeira equação vem de 'pratos = 80% dos copos', ou seja, P = 0,8·C. A segunda vem de 'no fim, copos excedem pratos em 30', ou seja, (C + 60 − 45) − (P + 20 − 8) = 30. Quando uma grandeza é porcentagem de outra, multiplicamos; quando uma excede a outra em um valor, subtraímos e igualamos a esse valor.
Esta questão cobra a montagem correta das duas equações, principalmente a segunda, que exige aplicar as variações de estoque antes de comparar. O erro clássico é usar a diferença de 30 com os valores iniciais, sem considerar compras e descartes.
O que a questão dá
pratos no início = 80% dos copos no início
comprados: 60 copos e 20 pratos
descartados: 45 copos e 8 pratos
no fim: copos excedem pratos em 30
O que queremos: o número de copos no início do mês
Passo 1 — Definir as incógnitas
Para transformar o problema em equações, precisamos dar nomes às quantidades desconhecidas. Vamos chamar de C o número de copos no início e de P o número de pratos no início. Isso permite escrever as relações do enunciado em linguagem matemática.
NÃO CAIA NESSA!
Não definir as incógnitas e tentar resolver de cabeça, o que leva a confundir os valores iniciais com os finais.
Passo 2 — Montar a equação da relação inicial
A primeira informação do enunciado é que os pratos correspondem a 80% dos copos. Isso significa que, se você tem C copos, o número de pratos é 80% disso, ou seja, 0,8 vezes C. Essa é a primeira equação do sistema.
Por que esta fórmula: Porcentagem é uma fração de 100: 80% = 80/100 = 0,8. 'Corresponder a' significa igualdade, então P = 0,8·C.
De onde vem cada valor: = incógnita definida no passo 1 · = enunciado: 80% · = incógnita definida no passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Escrever P = 80·C ou P = C/0,8, invertendo a relação.
Passo 3 — Calcular as quantidades finais de copos e pratos
A segunda equação usa a diferença entre copos e pratos no FIM do mês. Para isso, precisamos saber quantos copos e pratos existem no final, aplicando as compras e descartes às quantidades iniciais.
Por que esta fórmula: Somamos o que entra (compras) e subtraímos o que sai (descartes). Para copos: C + 60 − 45 = C + 15. Para pratos: P + 20 − 8 = P + 12.
De onde vem cada valor: = incógnita definida no passo 1 · = enunciado: comprados 60 copos · = enunciado: descartados 45 copos · = incógnita definida no passo 1 · = enunciado: comprados 20 pratos · = enunciado: descartados 8 pratos
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de aplicar as variações e usar C e P diretamente na diferença final.
Passo 4 — Montar a equação da diferença final
O enunciado diz que no fim os copos excedem os pratos em 30. Isso significa que a quantidade final de copos menos a quantidade final de pratos é igual a 30. Usamos as expressões do passo 3 para escrever essa equação.
Por que esta fórmula: 'Exceder em 30' significa que a diferença (copos − pratos) é 30. Substituímos as quantidades finais calculadas.
De onde vem cada valor: = passo 3: quantidade final de copos · = passo 3: quantidade final de pratos · = enunciado: excede em 30
NÃO CAIA NESSA!
Usar C − P = 30 sem aplicar as variações, o que leva a um valor errado.
Passo 5 — Simplificar a equação da diferença
Para resolver o sistema, precisamos de uma equação mais simples. Vamos eliminar os parênteses e combinar os termos constantes: 15 − 12 = 3. Assim, a equação fica C − P + 3 = 30, e subtraindo 3 dos dois lados, obtemos C − P = 27.
Por que esta fórmula: Simplificação algébrica: (C + 15) − (P + 12) = C + 15 − P − 12 = C − P + 3. Igualando a 30 e isolando a diferença, temos C − P = 27.
De onde vem cada valor: = incógnita definida no passo 1 · = incógnita definida no passo 1 · = passo 4: 30 − 3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração 15 − 12 e obter 3 em vez de 27.
Passo 6 — Substituir P na equação da diferença
Agora temos duas equações: P = 0,8C e C − P = 27. Para resolver, substituímos a expressão de P da primeira equação na segunda, ficando com uma equação só com C.
Por que esta fórmula: Método da substituição: como P = 0,8C, trocamos P por 0,8C na equação C − P = 27.
De onde vem cada valor: = incógnita definida no passo 1 · = passo 2: P = 0,8C · = passo 5
NÃO CAIA NESSA!
Substituir errado, por exemplo, escrever C + 0,8C = 27.
Passo 7 — Resolver a equação para C
A equação C − 0,8C = 27 é do 1º grau. Combinamos os termos com C: 1C − 0,8C = 0,2C. Então 0,2C = 27, e dividindo ambos os lados por 0,2, obtemos C = 135.
Por que esta fórmula: Isolamento da incógnita: subtraímos os coeficientes de C e depois dividimos pelo coeficiente resultante.
De onde vem cada valor: = passo 6: 1 − 0,8 · = passo 5