Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Progressão Aritmética: produção diária das máquinas

Gabarito: letra E (3 de julho). A produção diária de A e B forma duas progressões aritméticas a partir de 1º de abril; igualando os termos gerais, A supera B a partir do 94º dia do ano, que corresponde a 3 de julho. A resolução usa o termo geral da PA: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando-se uma constante (a razão $r$) ao termo anterior. O termo geral é dado por $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$, onde $a_1$ é o primeiro termo e $n$ é a posição do termo. Nesta questão, as produções diárias das máquinas A e B, a partir de 1º de abril, formam PAs com primeiros termos iguais às produções de 31 de março e razões iguais aos aumentos diários.

Para encontrar o dia em que A supera B, precisamos igualar os termos gerais das duas PAs e resolver a inequação $A_n > B_n$. O resultado nos dá o número de dias decorridos desde 1º de abril, que deve ser convertido em uma data do calendário.

Resolução passo a passo

1. Produções em 31 de março (dia 90 do ano):

   • Máquina A: 663 peças

   • Máquina B: 1500 peças

1. Termos gerais a partir de 1º de abril (dia 91):

   • Seja $k$ o número de dias após 31 de março (ou seja, $k=1$ em 1º de abril).

   • Produção de A no dia $k$: $A_k = 663 + (k-1) \cdot 29$

   • Produção de B no dia $k$: $B_k = 1500 + (k-1) \cdot 20$

1. Igualando as produções:

   $663 + (k-1) \cdot 29 = 1500 + (k-1) \cdot 20$

   $663 + 29k - 29 = 1500 + 20k - 20$

   $634 + 29k = 1480 + 20k$

   $9k = 846$

   $k = 94$

1. Interpretação: No 94º dia após 31 de março, as produções se igualam. Como queremos o primeiro dia em que A é maior que B, precisamos do dia seguinte, ou seja, $k = 95$.

1. Convertendo para data: O dia 31 de março é o dia 90 do ano. O dia 94 após 31 de março é o dia $90 + 94 = 184$ do ano. O dia 185 do ano é quando A supera B. Contando os dias do ano:

   • Janeiro: 31 dias (dias 1 a 31)

   • Fevereiro: 28 dias (dias 32 a 59)

   • Março: 31 dias (dias 60 a 90)

   • Abril: 30 dias (dias 91 a 120)

   • Maio: 31 dias (dias 121 a 151)

   • Junho: 30 dias (dias 152 a 181)

   • Julho: 31 dias (dias 182 a 212)

O dia 184 é 2 de julho (182 + 2 = 184). O dia 185 é 3 de julho.

Verificação

No dia 3 de julho (dia 185 do ano), temos $k = 95$:

• Produção de A: $663 + 94 \cdot 29 = 663 + 2726 = 3389$

• Produção de B: $1500 + 94 \cdot 20 = 1500 + 1880 = 3380$

Como $3389 > 3380$, A supera B pela primeira vez em 3 de julho.

Alternativa A — ❌ Incorreta

25 de maio corresponde ao dia 145 do ano. Nesse dia, $k = 55$: A produz $663 + 54 \cdot 29 = 2229$ e B produz $1500 + 54 \cdot 20 = 2580$. Ainda não superou B.

Alternativa B — ❌ Incorreta

31 de maio corresponde ao dia 151 do ano. Nesse dia, $k = 61$: A produz $663 + 60 \cdot 29 = 2403$ e B produz $1500 + 60 \cdot 20 = 2700$. Ainda não superou B.

Alternativa C — ❌ Incorreta

12 de junho corresponde ao dia 163 do ano. Nesse dia, $k = 73$: A produz $663 + 72 \cdot 29 = 2751$ e B produz $1500 + 72 \cdot 20 = 2940$. Ainda não superou B.

Alternativa D — ❌ Incorreta

24 de junho corresponde ao dia 175 do ano. Nesse dia, $k = 85$: A produz $663 + 84 \cdot 29 = 3099$ e B produz $1500 + 84 \cdot 20 = 3180$. Ainda não superou B.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

3 de julho corresponde ao dia 185 do ano. Nesse dia, $k = 95$: A produz $663 + 94 \cdot 29 = 3389$ e B produz $1500 + 94 \cdot 20 = 3380$. Como $3389 > 3380$, A supera B pela primeira vez.

Gabarito: letra E